把圖形看成點的運動軌跡，這個想法很重要！它從指導思想上，改變了傳統的幾何方法。笛卡爾根據自己的這個想法，在《幾何學》中，最早為運動著的點建立坐標，開創了幾何和代數掛鉤的解析幾何。在解析幾何中，動點的坐標就成了變數，這是數學第一次引進變數。
恩格斯高度評價笛卡爾的工作，他說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學。”
坐標方法在日常生活中用得很多。例如象棋、國際象棋中棋子的定位；電影院、劇院、體育館的看台、火車車廂的座位及高層建築的房間編號等都用到坐標的概念。
45圓錐曲線的產生與發展
希臘著名學者梅內克繆斯（公元前4世紀）企圖解決當時的著名難題“倍立方問題”（即用直尺和圓規把立方體體積擴大一倍）。他把直角三角形ABC的直角A的平分線AO作為軸。旋轉三角形ABC一周，得到曲麵ABECE＇，如圖1。用垂直於AC的平麵去截此曲麵，可得到曲線EDE＇，梅內克繆斯稱之為“直角圓錐曲線”。他想以此在理論上解決“倍立方問題。”未獲成功。而後，便撤開“倍立方問題”，把圓錐曲線做為專有概念進行研究：若以直角三角形ABC中的長直角邊AC為軸旋轉三角形ABC一周，得到曲麵CB＇EBE＇，如圖2。用垂直於BC的平麵去截此曲麵，其切口為一曲線，稱之為“銳角圓錐曲線”；若以直角三角形ABC中的短直角邊AB為軸旋轉三角形ABC一周，可得到曲麵BC＇ECE＇。如圖3。用垂直於BV的平麵去截此曲麵，其切口曲線EDE＇稱為“鈍角圓錐曲線”。當時，希臘人對平麵曲線還缺乏認識，上述三種曲線須以“圓錐曲麵為媒介得到，因此，被稱為圓錐曲線的“雛形”。
經過了約二百年的時間，圓錐曲線的研究取得重大突破的是希臘的兩位著名數學家奧波羅尼奧斯（公元前三世紀後半葉）和歐幾裏得（公元前300－前275）奧波羅尼奧斯在他的著作《圓錐曲線論》中，係統地闡述了圓錐曲麵的定義，利用圓錐曲麵生成圓錐曲線的方法與構成，而且還對圓錐曲線的性質進行了深入的研究，他發現:（1）橢圓，雙曲線任一點M處的切線與、（、為兩定點，後人稱之為焦點）的夾角相等；（2）對於橢圓，（為常數，且大於）。（3）對於雙曲線，（為常數，且小於）。但是，阿波羅尼奧斯對拋物線沒有發現這類性質。歐幾裏得在他的巨著《幾何原本》裏描述了圓錐曲線的共性，並給出了圓錐曲線的統一定義，即：平麵內一點F和一定直線AB，從平麵內的動點M向AB引垂線，垂足為C，若|MF|：|MC|的值一定，則動點M的軌跡為圓錐曲線。隻可惜對這一定理歐幾裏得沒有給出證明。
又經過了500年，到了3世紀，希臘數學家帕普斯在他的著作《彙篇》中，才完善了歐幾裏得的關於圓錐曲線的統一定義，並對這一定理進行了證明。他指出，平麵內一定點F和一定直線AB，從平麵內的動點M向AB引垂線，垂足為C，若|MF|：|MC|的值一定，則當|MF|：|MC|的比值小於1時，動點M的軌跡是橢圓，等於1時是拋物線，大於1時是雙曲線。至此，圓錐曲線的定義和性質才比較完整地建立起來了。
46斐波那契數列
斐波那契數列在自然界中的出現是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的。
（1）細察下列各種花，它們的花瓣的數目具有斐波那契數：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬鬥菜、百合花、蝴蝶花。
（2）細察以下花的類似花瓣部分，它們也具有斐波那契數：紫宛、大波斯菊、雛菊。
斐波那契數經常與花瓣的數目相結合：
3……………………百合和蝴蝶花
5……………………藍花耬鬥菜、金鳳花、飛燕草
8……………………翠雀花
13…………………金盞草
21……………………紫宛
34，55，84…………雛菊
（3）斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。
（4）斐波那契數有時也稱鬆果數，因為連續的斐波那契數會出現在鬆果的左和右的兩種螺旋形走向的數目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會看到。此外，你能發現一些連續的魯卡斯數嗎？
（5）菠蘿是又一種可以檢驗斐波那契數的植物。對於菠蘿，我們可以去數一下它表麵上六角形鱗片所形成的螺旋線數。
斐波那契數列與黃金比值，相繼的斐波那契數的比的數列：它們交錯地或大於或小於黃金比的值。該數列的極限為。這種聯係暗示了無論（尤其在自然現象中）在哪裏出現黃金比、黃金矩形或等角螺線，那裏也就會出現斐波那契數，反之亦然。
47弧形滑梯與最速降線
現在，如果有兩條滑梯擺在你麵前，一條是斜線，另一條是弧線。並且高度都是相同的。讓你從中選擇一條，使你從這條滑梯滑到地麵時間比從另一條滑梯滑到地麵的時間要短一些，你會選擇哪一條呢？
也許你會選擇那條斜線，認為那條斜線段的路程會短一些。但是，事實告訴我們，這樣的分析是錯誤的。因為所花的時間，不但與路程的長短有關，而且還與滑行速度有關。沿著斜線下滑，固然路程會短一些，然而，運動速度是從０開始，緩慢而均勻地增大。沿弧線下滑開始滑行的是一段陡坡，速度迅速增大，使其滑行速度比前者快，即使路程更長一些，哪一條所花時間更短一些卻很難判斷了。如果弧線滑梯所花時間更短，那麼改變弧形形狀，是否還有更省時間的呢？哪一種弧線滑梯又是最省時間的呢？這個問題就是數學中的最速降線問題。
最速降線問題用科學語表述就是：確定在重力場中兩個定點間運動的動點最快下降的曲線，這條曲線原來是一條適當的擺線的一段弧！
尋找“最速降線”的問題，最初是由瑞士數學家約翰·貝努利提出。當時歐洲數學界正盛行一種挑戰的風氣，約翰·貝努利就以此問題向全歐洲數學家挑戰。這個問題經過約翰·貝努利、牛頓、萊布尼茲、雅各·貝努力等人的努力，得到了解決。發現：沿著適當的倒放擺線弧下滑，比任何曲線都快。這一問題的解決，為一門數學新分支――變分法的誕生奠定了基礎。