劉徽是中國古代最優秀的數學家之一，他生活在三國時期的魏國，有關他的生平事跡和生卒年代等情況，現代人們知道的很少。他在反複研讀《九章算術》的過程中，發現了很多不盡如人意之處，便決定對該書作一個詳細的注解。他獲得的許多重要的數學成就都包含在這些注解當中。此外，他還研究過天文、曆法，從事過度量衡的考校工作。
當劉徽發現了球體積公式存在著過大的誤差後，便決心推算出精確的公式來。他先是用兩個半徑都等於R的圓柱麵，讓其軸線互相垂直並相交，於是，這兩個圓柱麵的公共部分正好把半徑為R的球體包含在內，這個公共部分的外形就像一個既圓又方的盒子，劉徽給它起了一個名字，叫做“牟合方蓋”。兩個對接的煙筒在拐彎處的形狀就像牟合方蓋的一個角。然後劉徽想，若用一個與底麵平行的平麵去截它們，那麼球的截麵肯定是圓，而牟合方蓋的截麵剛好是一個正方形；無論截麵高低如何，其形狀隻不過是大小有所不同罷了。
假定圓半徑是1，則圓麵積就等於π，而正方形麵積就等於4，即任意正方形與其內切圓的麵積之比都是4：π。既然牟合方蓋與其內切球體的任意截麵積之比都是4：π，那麼二者的體積之比也是4：π．
劉徽在這裏用到了一個重要的截麵原理：如果兩個等高的立體，用平行於底麵的平麵截得的截麵積之比為一定值，則這兩個立體的體積之比也等於該定值。這個原理現在稱為“劉徽原理”。因此，他把計算球體積的問題轉化為計算牟合方蓋體積的問題了。換句話說，隻要求出牟合方蓋的體積，就可得到球體積公式了。
又過了200多年，我國南北朝時期的偉大科學家祖衝之的兒子祖暅接著研究這個問題。雖然祖暅仍循著劉徽的思路，設法解決牟合方蓋的體積問題，但其方法獨特而新穎，從而巧妙地求出球體體積。
祖暅作了一個邊長為2R且外切於牟合方蓋的正方體，該正方體的體積是8R3，他想，隻要算出正方體和牟合方蓋的體積之差就可獲得牟合方蓋的體積，祖暅說：“冪勢既同，則積不容異”。意思是說，既然兩個立體的截麵積處處相同，則其體積不可能相異。
雖然阿基米德最早推出球體積公式，但由於他采用的方法與中國古人的方法有所不同，因此他並沒有發現立體的截麵原理。
立體的截麵原理在國外被稱作“卡瓦列裏原理”，因為該原理在歐洲最早是由意大利數學家卡瓦列裏發現的。卡瓦列裏是著名科學家伽裏略的學生，他在老師的影響下考察一些複雜圖形的麵積和體積問題。他認為，麵積就像布一樣是由一條一條的線織成的，體積就像書一樣是由一張一張的紙組成的。他在1635年出版的《連續不可分幾何》中給出了立體截麵原理，其內容與“劉徽原理”完全一樣，但比劉徽要晚1300多年。
立體截麵原理揭示了立體體積之間的一個十分重要的關係，用它不僅可以巧妙的導出球的體積公式，而且在一般意義上，它是解決立體體積問題的基礎，像高中數學中，有關棱柱、棱錐、棱台、圓柱、圓錐、圓台等幾何體的體積公式，都是建立在立體截麵原理這一基本規律之上的。而球的體積公式給人們帶來的方便，更是不言而喻。隻要是符合球體形狀，大到星球，小到原子，都可以運用公式很容易地計算出它的體積，這在數學以外的工業、農業、天文等各個行業及科學技術中運用也是屢見不鮮。
43三角函數符號的來曆
正弦是最重要也是最古老的一種三角函數。早期的三角學，是伴隨著天文學而產生的。古希臘天文學派希帕霍斯為了天文觀測的需要，製作了一個“弦表”，即在圓內不同圓心角所對弦長的表。相當於現在圓心角一半的正弦表的兩倍。這就是正弦表的前身，可惜沒有保存下來。
希臘的數學轉入印度，阿耶波多作了重大的改革。一方麵他定半徑為３４３８，含有弧度製的思想。另一方麵他計算半弦（相當於現在的正弦線）而不是希臘人的全弦。他稱半弦為jiva，是獵人弓弦的意思。後來印度的書籍被譯成阿拉伯文,jiva被音譯成jiba，但此字在阿拉伯文中沒有意義，輾轉傳抄，又被誤寫成jaib，意思是胸膛或海灣。１２世紀，歐洲人從阿拉伯的文獻中尋求知識。１１５０年左右，意大利翻譯家傑拉德將jaib意譯為拉丁文sinus，這就是現存sine一詞的來源。英文保留了sinus這個詞，意義也不曾變。
sinus並沒有很快地被采用。同時並存的正弦符號還有Perpendiculum（垂直線），表示正弦的符號並不統一。計算尺的設計者岡特在他手畫的圖上用sin表示正弦，後來，英國的奧特雷德也使用了sin這一縮寫，同時又簡寫成S。與此同時，法國的埃裏岡在《數學教程》中引入了一整套數學符號，包括sin，但仍然沒有受到同時代人的注意。直到１８世紀中葉，逐漸趨於統一用sin。餘弦符號ces，也在１８世紀變成現在cos。
44坐標係的由來
有一天，笛卡爾（1596—1650），法國哲學家、數學家、物理學家）生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反複思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這裏，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤。他就拚命琢磨。通過什麼樣的辦法、才能把“點”和“數”聯係起來。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子裏可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子裏相鄰的兩麵牆與地麵交出了三條線，如果把地麵上的牆角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那麼空間中任意一點的位置，不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個數來表示嗎？反過來，任意給一組三個有順序的數，例如3、2、1，也可以用空間中的一個點P來表示它們。同樣，用一組數（a，b）可以表示平麵上的一個點，平麵上的一個點也可以用一組二個有順序的數來表示。於是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創建了直角坐標係。
無論這個傳說的可靠性如何，有一點是可以肯定的，就是笛卡爾是個勤於思考的人。這個有趣的傳說，就象瓦特看到蒸汽衝起開水壺蓋發明了蒸汽機一樣，說明笛卡爾在創建直角坐標係的過程中，很可能是受到周圍一些事物的啟發，觸發了靈感。
直角坐標係的創建，在代數和幾何上架起了一座橋梁。它使幾何概念得以用代數的方法來描述，幾何圖形可以通過代數形式來表達，這樣便可將先進的代數方法應用於幾何學的研究。
笛卡爾在創建直角坐標係的基礎上，創造了用代數方法來研究幾何圖形的數學分支——解析幾何。他的設想是：隻要把幾何圖形看成是動點的運動軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點組成的。比如，我們把圓看成是一個動點對定點O作等距離運動的軌跡，也就可以把圓看作是由無數到定點O的距離相等的點組成的。我們把點看作是留成圖形的基本元素，把數看成是組成方程的基本元素，隻要把點和數掛上鉤，也就可以把幾何和代數掛上鉤。