第二章6
38二次函數的來曆
函數就是在某變化過程中有兩個變量X和Y，變量Y隨著變量X一起變化，而且依賴於X。如果變量X取某個特定的值，Y依確定的關係取相應的值，那麼稱Y是X的函數。這一要領是由法國數學家黎曼在19世紀提出來的，但是最早產生於德國的數學家菜布尼茨。他和牛頓是微積分的發明者。17世紀末，在他的文章中，首先使用了“function一詞。翻譯成漢語的意思就是“函數。不過，它和我們今天使用的函數一詞的內涵並不一樣，它表示”冪”、“坐標”、“切線長”等概念。
直到18世紀，法國數學家達朗貝爾在進行研究中，給函數重新下了一個定義，他認為，所謂變量的函數，就是指由這些變量和常量所組成的解析表達式，即用解析式表達函數關係。後來瑞士的數學家歐拉又把函數的定義作了進一步的規範，他認為函數是能描畫出的一條曲線。我們常見到的一次函數的圖像、二次函數的圖像、正比例函數的圖像、反比例的圖像等都是用圖像法表示函數關係的。如果用達朗貝爾和歐拉的方法來表達函數關係，各自有它們的優點，但是如果作為函數的定義，還有欠缺。因為這兩種方法都還停留在表麵現象上，而沒有提示出函數的本質來。
19世紀中期，法國數學家黎緊吸收了萊布尼茨、達朗貝爾和歐拉的成果，第一次準確地提出了函數的定義：如果某一個量依賴於另一個量，使後一個量變化時，前一個量也隨著變化，那麼就把前一個量叫做後一個量的函數。黎曼定義的最大特點在於它突出了就是之間的依賴、變化的關係，反映了函數概念的本質屬性。
39自然現象之謎與數學
肥皂泡是圓球形，荷葉上的露水聚成顆顆“銀球”，這現象向我們展示，自然界隱含著一個最小作用原理。再如：貓總是蜷曲身體，縮成球體。這樣它所逸出的熱量最少。
皂膜實驗，其結果反映到數學中即“周長相等的所有封閉平麵曲線中以,圓所圍成的麵積為最大。”
十七世紀近世幾何學家施坦納構思了一種非常巧妙的方法，但它在證明開始暗中作了一個假設：存在一個麵積最大的圖形。在研究的對象還沒有確定是否存在的情況下，不能假設它存在。
黎曼一篇論文中犯過類似施坦納的錯誤，本世紀，柏林大學研究基礎理論著作的魏爾斯特拉斯教授指出了黎曼論文中的破綻。他的這一嚴格批評，曾轟動了當時整個世界數壇。
太陽、地球、行星都成球形，原子、電子及其去年軌道都近乎圓形。因為“圓是第一個最簡單和最完美的圖形。”它是最小作用原理的產物。
40數學分數符號的來曆
數學符號太多，不數學運算中經常使用符號，如＋，－，×，÷，＝，＞，＜，∽，（），√等，能找得太全，也不是那麼容易的，這裏隻找了一些常用的。加減號“＋”，“－”，1489年德國數學家魏德曼在他的著作中首先使用了這兩個符號，但正式為大家公認是從1514年荷蘭數學家荷伊克開始。乘號“×”，英國數學家奧屈特於1631年提出用“×”表示相乘。另一乘號“?”是數學家赫銳奧特首創的。除號“÷”，最初這個符號是作為減號在歐洲大陸流行，奧屈特用“：”表示除或比。也有人用分數線表示比，後來有人把二者結合起來就變成了“÷”。瑞士的數學家拉哈的著作中正式把“÷”作為除號。等號“＝”，最初是1540年由英國牛津大學教授瑞柯德開始使用。1591年法國數學家韋達在其著作中大量使用後，才逐漸為人們所接受。十七世紀微積分創始人萊布尼茲廣泛使用了這個符號，從此人們普遍使用。在（小）於號“＞”，“＜”，1631年為英國數學家赫銳奧特創用。相似號“∽”和全等號“≌”是數學家萊布尼茲創用。括號“（）”，1591年法國數學家韋達開始使用括線，1629年格洛德開始使用括號。平方根號“√”，1220年意大利數學家菲波那契使用R作為平方根號。十七世紀法國數學家笛卡爾在他的《幾何學》一書中第一次用“√”表示根號。“√”是由拉丁文root（方根）的第一個字母“r”變來，上麵的短線是括線，相當於括號。
41數學中e的來曆
尤拉被稱為數字界的莎士比亞，他是曆史上最多產的數學家，也是各領域（包含數學中理論與應用的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫藥等）最多著作的學者。數學史上稱十八世紀為“尤拉時代”。
尤拉出生於瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力，使他在13個小孩子吵鬧的環境中仍能精確思考複雜問題。
尤拉一生謙遜，從沒有用自己的名字給他發現的東西命名。隻有那個大約等於271828的自然對數的底，被他命名為e。但因他對數學廣泛的貢獻，因此在許多數學分支中，反而經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。
我們現在習以為常的數學符號很多都是尤拉所發明介紹的，例如：函數符號f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虛數i等。高中教師常用一則自然對數的底數e笑話，幫助學生記憶一個很特別的微分公式：在一家精神病院裏，有個病患整天對著別人說，“我微分你、我微分你。”也不知為什麼，這些病患都有一點簡單的微積分概念，總以為有一天自己會像一般多項式函數般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了一個不為所動的人，他很意外，而這個人淡淡地對他說，“我是e的x次方。”
這個微分公式就是：e不論對x微分幾次，結果都還是e！難怪數學係學生會用e比喻堅定不移的愛情！
相對於π是希臘文字中圓周第一個字母，e的由來較不為人熟知。有人甚至認為：尤拉取自己名字的第一個字母作為自然對數。
而尤拉選擇e的理由較為人所接受的說法有二：一為在a，b，c，d等四個常被使用的字母後麵，第一個尚未被經常使用的字母就是e，所以，他很自然地選了這個符號，代表自然對數的底數；一為e是指數的第一個字母，雖然你或許會懷疑瑞士人尤拉的母語不是英文，可事實上法文、德文的指數都是它。
42奇妙的立體截麵原理
知道球體半徑，那麼由上述公式就很容易算出球體積來。這個公式最早是由古希臘數學家阿基米德利用力學方法和窮竭法推導出來的。中國古人用自己獨特的方法也得到這一公式，雖然晚於阿基米德，但在推導球體體積公式的過程中，卻無意間發現了立體幾何中的一個重要結論——立體截麵原理。
《九章算術》是中國古代最早的著名數學專著之一，它是由許多數學家合作編寫，並經過幾代人的修訂改編，最後完成於西漢末年，距今已有2000多年了，書中計算體積的公式以現在的表述方式是V=45R^3其圓周率取的是3375。按照這個公式來計算球體體積，誤差實在太大了。過了200多年，即公元263年前後，劉徽在給該書作注解時，發現這個公式存在問題。