第二章5
35哥德爾不完全性定理
他旋動數學的透鏡注視著數學本身，偶然間他發現了著名的“不完全定理”——它像—支錐子穿透了形式主義的心髒。
1906年卡特·哥德爾生於布倫城，那時布倫是奧匈帝國的領土，現在它屬於捷克共和國的一部分。他的父親是一家紡織廠的經理，喜愛邏輯學和進行推理，他的母親則一直提倡對自己的獨生子要盡早教育。10歲之前，哥德爾一直在學習數學、宗教和好幾種語言。到25歲時，他已經提出了被許多人認為是20世紀最重要的數學成果的“不完全定理”。1931年，哥德爾提出了他的發現，引起了人們的震驚和迷茫。它表明，世界上最著名的數學家的將近一個世紀的努力是注定要失敗的。
為了對哥德爾的理論表示讚賞，去理解那個時代數學怎樣被感知，是一件殘忍的事情。多少個世紀以來，人類處於典型的泥水不分的混沌狀態，那時人的模糊直覺和明白無誤的邏輯思考是攪和在一起的，直到19世紀末期，數學才終於有了發展。所謂的形式體係被設計了出來，就像從樹幹上長出了枝丫，定理從推論公理中生了出來。形式體係表明，得出定理的過程必須從某個地方開始，並且這個地方一定是存在公理的地方，它們是原始的種子，是其他數學結論的源泉。
機械數學觀的優點是它剔除了所有思考和判斷的需要。隻要公理是正確的敘述，並且隻要推理的法則是正確的，數學就不會出軌，謊言就不會輕而易舉地得逞。
為了發揮標準數字、加號、括號及其他符號的優勢，人們經常把文字敘述寫成用一係列符號表示的形式體係。但是，那時這些符號並不是數學的一個必要特征。雖然文字敘述同樣被用來表示李子、香蕉、蘋果和橘子，然而那時候，數學敘述（由任意符號構成）越來越明顯地成為數學的一種單純的精確的結構模式。
很快，少數幾個有遠見的人物開始懂得了數學敘述的特點，哥德爾即是他們中的佼佼者，這種看待事物的方式打開了數學的一個新的分支學科——抽象數學。常用的數學分析方法是與抽象數學的模仿一萌芽階段相聯係的，這一階段形成了形式體係的本質——數學本身被假設為抽象數學的原始樣本。這樣數學就像一條自食的蛇一樣又扭過頭來盤住了自己。
哥德爾表明，怪異的結論恰恰來自用數學透鏡觀看數學本身時的聚焦過程。理解這一結論的方法之一就是想象在一顆遙遠的行星上（比如說火星），所有用於寫傳奇作品的符號碰巧是我們平時用的0～9的阿拉伯數字。這樣，火星人將會在他們教科書中討論一個著名的發現，他們會發現地球上的我們與歐幾裏德有關，而同時我們會說：“他們的作品中有許多素數，”他們寫的東西則像這樣：“8445329844508787866873070005766619463864545067111。”對我們來說它像一個46位的數字。而對火星人來說，它根本不是數字，而是一句陳述語。的確，對他們來說，他們寫的這些素數代表著34個字母，6個單詞和幾行話，就像我和你應用英文字母一樣。
現在讓我們來想象著討論一下所有的數學定理之間存在的普遍屬性。如果我們查找火星人的教科書，我們看到的所有定理都隻是純粹的數字而己。因此我們可能創造出一條複雜的定理，以分辨哪些數字可以出現在火星人的教科書中，而那些數字從不在那兒出現。當然，我們不願意談論數字，而更願意談論那些形似數字的符號鏈。並且，或許對我們來說，讓我們忘記這些符號鏈對火星人的意義，而僅僅把它們看成是古老的數字，這並不是一件容易的事。
通過這一簡單的換位透視法，哥德爾找到了更深奧的力法。哥德爾的方法是去想象著研究什麼能夠被稱為“火星人創造的數字”（那些數字實際上是火星人教科書中的定理），並且他試著提出諸如此類的問題：“8030974是否是火星人的創造?”這個問題的意思是，像“8030974”這樣的敘述會不會在一本火星人教科書中出現?
哥德爾仔細思索著這一超現實的數字構成，很快他發現這種“火星人創造”的專用數字並不是完全區別於我們熟知的“素數”或“奇數”等概念。這樣一來，地球範圍內的數字定理便能夠處理諸如“哪些數字是火星人創造，哪些數字不是火星人創造”或者“是否有無限的非火星人創造數字”等問題了。很可能高等數學教科書（在地球上的）已經包括了關於火星人創造的數字的全部出處。
就這樣，在數學史上最敏銳的洞見之一裏，哥德爾設計出了一句驚人的陳述：“X不是一個火星人創造的數字。”這句話中的X就是：當“X不是一個火星人創造的數字”陳述被譯成火星人的數學概念時所表示出的數字。仔細想一下這句話，直到你明白它為止。被翻譯成火星人概念的“X不是一個火星人創造的數字”這句陳述，對我們來說將是一串巨大的數字鏈——一個很大的數字，但是，這串火星人的書寫正是我們要找的X（這句敘述本身所談及的X）。說起來太曲折，的確這真夠曲折的！但是曲折正是哥德爾的特長——曲折就在空間結構中，曲折就在原因中，萬事萬物都是曲折的。
通過把定理想成符號模式，哥德爾發現，用“形式體係”表示的陳述不僅能夠闡明它自身，而且能夠拒絕它自己的理論來源。數學中存在的這一糾纏不清的潛在結果，對火星人來說是一種巨大的非同尋常的悲哀，為什麼悲哀呢？因為火星的人們——像魯塞爾和懷特洛德——早已全身心地希望，他們的形式體係會抓住數學的所有真實陳述。如果哥德爾的陳述是正確的，那麼它在他們的教科書中將不會被當成一條定理，並且它將再也不會出現在他們的教科書中——因為哥德爾的陳述已經表明它本身是不可能的！如果它的確在他們的教科書中出現了，那麼它對它本身將是錯誤的又有何解釋呢，並且有誰，即使是火星人，會想要一本提倡錯誤和提倡正確一樣多的數學教科書呢？
所有這一切的結果是，一直被保持的形式主義的目標隻不過是一種幻想。所有形式體係表明是不完全的，因為它們本身就能夠表明他們自己是無法得以證明的。並且，據說1931年哥德爾提出的“數學的不完全性”也說明了上述觀點。事實上，不是數學本身是不完全的，而是任何試圖用一套有限的公理和規則去抓住數學的所有事實的形式體係都是不完全的。對於你來說，這一結論可能並不會給你帶來震撼，但對於20世紀30年代的數學家們來說，它結束了他們的整個世界觀，並且數學自此將麵目全非了。
哥德爾1931年寫的文章也產生了其他的影響：它發明了循環函數理論，它成為今天計算機理論的重要基礎理論之一。確實，在哥德爾的文章的核心部分，寫下了為創造出“火星人創造”的數字而製定的複雜的近似計算機程序的內容，並且這一“程序”是用極似Lisp的程序語言的形式寫下的，而這一語言在將近30年後才得以開發。
哥德爾這個人和他的理論一樣古怪。1939年，他和他作為職業舞蹈者的妻子艾蒂麗逃離納粹德國並且前往普林斯頓。在那裏，他與愛因斯坦共同在高級研究所任職。在晚年，哥德爾成了病菌傳染方麵的妄想狂患者，他強製性地一次又一次地洗淨自己的餐具，帶著露有雙眼的滑雪麵具到處亂跑，一時間他成了臭名昭著的人物。72歲時，他因為拒絕進食而死於一家普林斯頓的醫院裏。正如形式體係的威力注定要不完全一樣，生活也是不完全的，也正如形式體係的複雜性注定要滅亡一樣，每一個人都有自己獨特的生活方式。