第二章3
29悖論
（1）羅素悖論
一天，薩維爾村理發師掛出了一塊招牌：村裏所有不自己理發的男人都由我給他們理發。於是有人問他：“您的頭發誰給理呢？”理發師頓時啞口無言。
1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到十九世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎上了。就在這時，集合論接連出現了一係列自相矛盾的結果。特別是1902年羅素提出理發師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數學危機”。此後，為了克服這些悖論，數學家們做了大量研究工作，由此產生了大批新成果，也帶來了數學觀念的革命。
（2）說謊者悖論
“我正在說的這句話是慌話。”公元前四世紀的希臘數學家歐幾裏德提出的這個悖論，至今還在困擾著數學家和邏輯學家。這就是著名的說慌者悖論。類似的悖論最早是在公元前六世紀出現的，當時克裏特島哲學家愛皮梅尼特曾說過：“所有的克裏特島人都說慌。”在中國古代《墨經》中，也有一句十分相似的話：“以言為盡悖，悖，說在其言。”意思是：以為所有的話都是錯的，這是錯的，因為這本身就是一句話。
說慌者悖論有多種變化形式，例如，在同一張紙上寫出下列兩句話：
下一句話是慌話。
上一句話是真話。
更有趣的是下麵的對話。甲對乙說：“你下麵要講的是‘不’，對不對？請用‘是’或‘不’來回答！”
還有一個例子。有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什麼事都做得到。一位過路人問了一句話：“上帝能創造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎？”
30阿拉伯數字
在生活中，我們經常會用到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這些數字。那麼你知道這些數字是誰發明的嗎？
這些數字符號原來是古代印度人發明的，後來傳到阿拉伯，又從阿拉伯傳到歐洲，歐洲人誤以為是阿拉伯人發明的，就把它們叫做“阿拉伯數字”，因為流傳了許多年，人們叫得順口，所以至今人們仍然將錯就錯，把這些古代印度人發明的數字符號叫做阿拉伯數字。
現在，阿拉伯數字已成了全世界通用的數字符號。
31加減乘除的來曆
加減乘除（＋、－、×(?)、÷(∶））等數學符號是我們每一個人最熟悉的符號，因為不光在數學學習中離不開它們，幾乎每天的日常的生活也離不開它們。別看它們這麼簡單，直到１７世紀中葉才全部形成。
法國數學家許凱在１４８４年寫成的《算術三篇》中，使用了一些編寫符號，如用D表示加法，用M表示減法。這兩個符號最早出現在德國數學家維德曼寫的《商業速算法》中，他用“＋”表示超過,用“─”表示不足。到１５１４年，荷蘭的赫克首次用“＋”表示加法，用“─”表示減法。１５４４年，德國數學家施蒂費爾在《整數算術》中正式用“＋”和“─”表示加減，這兩個符號逐漸被公認為真正的算術符號，廣泛采用。
以符號“×”代表乘是英國數學家奧特雷德首創的。他於１６３１年出版的《數學之鑰》中引入這種記法。據說是由加法符號＋變動而來，因為乘法運算是從相同數的連加運算發展而來的。後來，萊布尼茲認為“×”容易與“X”相混淆，建議用“?”表示乘號，這樣，“?”也得到了承認。
除法符號“÷”是英國的瓦裏斯最初使用的，後來在英國得到了推廣。除的本意是分，符號“÷”的中間的橫線把上、下兩部分分開，形象地表示了“分”。至此，四則運算符號齊備了，當時還遠未達到被各國普遍采用的程度。
32數學中的符號
我們知道，數學起源於結繩記數和土地測量。最初，並沒有標準數學符號，符號是後來的實踐中逐漸產生並進一步完善的。但是，數學符號一旦產生，就能簡化數學研究工作，促進數學的發展。所以，學習數學，要從數學符號開始。阿拉伯數字１、２、３、…９、０就是最簡單，常用的符號，也就是它們引起了數學上的一場革命。
數學家韋達第一個把符號引入數學，他用元音字母表示未知量，用輔音字母表示已知量（方程的正係數）。此前，所有的已知數都是用具體數字表達的，從而限製數學的應用範圍。現在的符號體係是笛卡爾創立的。他提出，用英文字母中前麵的字母a、b、c表示已知數，最後的字母x、y、z表示未知數。
符號的使用推動了數學本身的發展。符號一經形成，便成為表述概念，說明方法和敘述定理必不可少的工具。建立較好的符號係統，便於總結運算法則，揭示數量關係利於推理。一句話，符號是數學前進，發展，運用的工具。
數學符號一般有以下幾種：
（１）數量符號：如,,,ｉ，２＋ｉ，ａ，ｘ，，自然對數底e，圓周率。
（２）運算符號：如加號（+），減號（-），乘號（×或?），除號（÷或／），兩個集合的並集（∪），交集（∩），根號（），對數（log，lg，ln），比（∶），微分（d），積分（∫）等。
（３）關係符號：如“=”是等號，“≈”或“”是近似符號，“≠”是不等號，“＞”是大於符號，“＜”是小於符號，“”表示變量變化的趨勢，“∽”是相似符號，“≌”是全等號，“∥”是平行符號，“⊥”是垂直符號，“∝”是正比例符號，“∈”是屬於符號等。
（４）結合符號：如圓括號“（）”方括號“［］”，花括號“{}”括線“—”B
（５）性質符號：如正號“+”，負號“-”，絕對值符號“‖”
（６）省略符號：如三角形（△），正弦（sin），X的函數（f(x)），極限（lim），因為（∵），所以（∴），總和（∑），連乘（∏），從N個元素中每次取出R個元素所有不同的組合數（C），冪（aM），階乘（！）等。
數學符號的應用，是學習數學、研究數學的重要途徑，願同學們在數學中學好符號，用好符號。
33時間和角度的單位
時間的單位是小時，角度的單位是度，從表麵上看，它們完全沒有關係。可是，為什麼它們都分成分、秒等名稱相同的小單位呢？為什麼又都用六十進位製呢？
我們仔細研究一下，就知道這兩種量是緊密聯係著的。原來，古代人由於生產勞動的需要，要研究天文和曆法，就牽涉到時間和角度了。譬如研究晝夜的變化，就要觀察地球的自轉，這裏自轉的角度和時間是緊密地聯係在一起的。因為曆法需要的精確度較高，時間的單位“小時”、角度的單位“度”都嫌太大，必須進一步研究它們的小數。時間和角度都要求它們的小數單位具有這樣的性質：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成為它的整數倍。以1/60作為單位，就正好具有這個性質。譬如：1/2等於30個1/60，1/3等於20個1/60，1/4等於15個1/60。
數學上習慣把這個1/60的單位叫做“分”，用符號“′”來表示；把1分的1/60的單位叫做“秒”，用符號“″”來表示。時間和角度都用分、秒作小數單位。
這個小數的進位製在表示有些數字時很方便。例如常遇到的1/3，在十進位製裏要變成無限小數，但在這種進位製中就是一個整數。
這種六十進位製（嚴格地說是六十退位製）的小數記數法，在天文曆法方麵已長久地為全世界的科學家們所習慣，所以也就一直沿用到今天。
34米的誕生
在公元1790年之前世界各國的長度單位幾乎各不相同，給不同國家的人們之間相互交流帶來了很大的麻煩。這時，法國的一位科學家他雷蘭提出了製定一個世界各國通用單位的建議。
法國的學者取得世界各國的同意，把地球子午線上從北極到赤道的長度的一千萬分之一作為長度的單位，叫做1米。
當時的科學技術還很不發達。測量了整整七年，實際還隻是僅僅測量了西班牙的巴賽羅納和法國的敦刻爾克之間的距離。通過計算得到了最初的1米。
後來1960年的國際會議規定。一米為氪（K8）原子在真空中發射的橙色光波波長的165076373倍。
35圓的曆史
古代人最早是從太陽，從陰曆十五的月亮得到圓的概念的，那麼是什麼人作出第一個圓的呢？
18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鑽孔，一麵鑽不透，再從另一麵鑽。石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個半徑和圓心一圈圈地轉就可以鑽出一個圓的孔。
到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。
6000年前，半坡人就已經會造圓形的房頂了。
古代人還發現圓的木頭滾著走比較省勁。後來他們在搬運重物時，就把幾段圓木墊在重物的下麵滾著走，這樣就比扛著走省勁得多。
大約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓的木輪。約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車子。
會作圓並且真正了解圓的性質，卻是在2000多年前，是由我國的墨子給出圓的概念的：“一中同長也。”意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數學家歐幾裏得給團下定義要早100年。
36奇妙的圓形
圓形，是一個看來簡單，實際上是很奇妙的圓形。
古代人最早是從太陽，從陰曆十五的月亮得到圓的概念的。一萬八千年前的山頂洞人曾經在獸牙、礫石和石珠上鑽孔，那些孔有的就很圓。
以後到了陶器時代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個轉盤上製成的。