第二章2
6康托爾與集合論
集合論的創立者格奧爾格·康托爾，1845年3月3日出生於俄國彼得堡(現為蘇聯列寧格勒)一個商人家庭。他在中學時期就對數學感興趣。1862年，他到蘇黎世上大學，1863年轉入柏林大學。當時柏林大學正在形成一個數學與研究的中心。他在1867年的博士論文中已經反映出“離經叛道”的觀點，他認為在數學中提問的藝術比起解法更為重要。的確，他的成績並不總是在於解決問題，他對數數的獨特貢獻在於他以特殊提問的方式開辟了廣闊的研究領域。他所提出的問題一部分被他自己解決，一部分被他的後繼者解決，一些沒有解決的問題則始終支配著某一個方向的發展，例如著名的連續統假設。
1869年康托爾取得在哈勒大學任教的資格，不僅就升為副教授，並在1879年升為教授。他一直到去世都在哈勒大學工作。他曾希望去柏林找一個薪金較高、聲望更大的教授職位，但是在柏林，那位很有勢力而且又專橫跋扈的克洛耐克(L·Kronecker，1823—1891年)對於他的集合論，特別是他的“超窮數”的觀點持根本否定的態度。因此，處處跟他為難，堵塞了他所有的道路。由於用腦過度和精神緊張，從1884年起，他不時犯深度精神抑鬱症，常常住在療養院裏。1918年1月6日他在哈勒大學附近精神病院中去世。
集合論的誕生可以說是在1873年年底。1873年11月，他在和戴德金的通信中提出了一個問題，這個問題使他從以前關於數學分析的研究轉到了一個新方向。他認為，有理數的集合是可以“數”的，也就是可以和自然數的集合一對一的對應。但是，他不知道，對於實數集合這種一對一的對應是否能辦到。他相信不能有一對一的對應，但是他“講不出什麼理由”。不久之後，他承認“沒有認真地考慮這個問題，因為它似乎沒有什麼價值”。接著他又補充一句，“要是你認為它因此不值得再花費力氣，那我就會完全讚同。”可是，康托爾又考慮起集合的映射問題來。很快，他在1873年12月7日又寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的了。這一天可以看成是集合論的誕生日。戴德金祝賀康托爾取得成功。
集合論的發展道路是很不平坦的。康托爾的集合論是數學上最具有革命性的理論。
7客滿的旅館還能住進一位客人
有一個市鎮，隻有一家旅館，這個旅館與通常旅館沒有不同，隻是房間數不是有限而是無窮多間，房間號碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。有一天開大會，所有房間都住滿了，後來來了一位客人，一定要住下來。旅館老板於是引用“旅館公理”說：“滿了就是滿了，非常對不起!”正好這時候，聰明的旅館老板女兒來了，她看見客人和她爸爸都很著急，就說：“這好辦，請每位顧客都搬一下，從這間房搬到下一間”。於是1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到3號房間……依此類推。最後1號房間空出來，請這位遲到的客人住下了。
第二天，又來了一個龐大的代表團要求住旅館，他們聲稱有可數無窮多位代表一定要住，這又把旅館老板難住了。老板的女兒再一次來解圍，她說：“您讓1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……K號房間客人搬到2K號……這樣，1號，3號，5號……房間就都空出來了，代表團的代表都能住下了。”
這一天，這個代表團每位代表又出新花招，他們想每個人占可數無窮多間房安排他們的親朋好友，這回連老板的女兒也被難住了。聰明的女兒想了很久，終於想出了辦法。她把第一個客人的第一間房記做(1，1)，第二間房記做(1，2)，第K間房記作(1，K)……第二個客人的第一間房記作(2，1)，第二間房記做(2，2)……這樣就有一串兩個號碼的房間。現在把它按1，2，3，4……排好，按箭頭的順序排號：(1，1)住1號，(1，2)住2號，(2，1)住3號，(3，1)住4號，(2，2)住5號……問題不就又解決了嗎!
這個故事說明了無窮集合和有限集合的一個特點，即有限集合不能通過單映射映射到自己的真子集合，而無窮集合可以通過單映射映射到自己的真子集合。(單映射是指，設F是集合A到集合B的映射，對B中的一個象，它在A中隻有唯一元素作為原象，就稱F是單映射。)
8“換一根短的杠杆”
據傳說，在阿基米德晚年，他的家鄉敘拉古城被強大的羅馬帝國圍困，在保衛城牆的戰鬥中，阿基米德充分動用了他的智慧和才能，發明許多特種武器，給敵人以沉重的打擊，使得久攻不下的羅馬軍隊隻得棄強攻為封鎖，後來，敘拉古城由於矢盡糧絕，才被羅馬軍隊占領。
在保衛古城堡的最後一天，阿基米德看到城堡的一角，幾名將士正用一根既沉重又長的杠杆在運一塊大石，準備消滅入侵之敵。他好像突然想起什麼似的猛然站起來高聲喊到：“不要那麼長的杠杆，換一根短的。”將士們驚呆了，用短杠杆怎麼行?你老人家發明的杠杆原理不是要加長動力臂才省力嗎?
遺憾的是由於城堡被敵人攻破，阿基米德沒來得及回答將士們的問題，就被羅馬士兵殺害了。
這個傳說是否真實，我們不必來考證，但是，我們關心的是為什麼阿基米德突然想到要換一根短杠杆呢?隻要我們細心一想，就會發現這位古代科學家所提問題的道理，誠然加長動力臂能省力，但是隨著杠杆長度的增加，人們的無用消耗也將增加。那麼，究竟采用多長的杠杆才最省力呢?
不妨假設杠杆的支點、力點分為A、B，在距支點05米處的點掛重物490公斤，已知杠杆本身每米長重40公斤，求最省力的杠杆長?
顯然，我們可以得這樣一個關係式：
FX=40X·X2+490×05
可轉化以自變量X的二次方程：20X２-FX+245=0於是利用判別式法求出F的極值，即：
Δ=F２-40×20×245≥0
即F≥140
故當F=140公斤時，X=35米
由此可知，最省力的杠杆長為35米，此時人們隻用140公斤力就可移動490公斤重的物體，事實上，當杠杆比35米長了或短了時，所用的力都要大。例如取4米時，F=14125公斤，顯然用力大於140公斤。現在我們已說明了“阿基米德為什麼說‘不要用那麼長的杠杆，換一根短的’”的道理。
9不同專業的質數
證明所有大於2的奇數都是質數，不同專業的人給出不同的證明：
數學家：3是質數，5是質數，7是質數，由數學歸納可知，所有大於2的奇數都是質數。物理學家：3是質數，5是質數，7是質數，9是實驗誤差，11是質數。工程師：3是質數，5是質數，7是質數，9是質數，11是質數。計算機程序員：3是質數，5是質數，7是質數，7是質數，7是質數。統計學家：讓我們來試幾個隨機抽取的數：17是質數，23是質數，11是質數。
10與函數的相遇
函數和指數函數e的x次方走在街上，遠遠看到微分算子，常函數嚇得慌忙躲藏，說：“被它微分一下，我就什麼都沒有啦！”指數函數不慌不忙道：“它可不能把我怎麼樣，我是e的x次方！”
指數函數與微分算子相遇。指數函數自我介紹道：“你好，我是e的x次方。”微分算子道：“你好，我是d/dy！”
11不同學者的角度
物理學家、天文學家和數學家走在蘇格蘭高原上，碰巧看到一隻黑色的羊。
“啊，”天文學家說道，“原來蘇格蘭的羊是黑色的。”
“得了吧，僅憑一次觀察你可不能這麼說。”物理學家道，“你隻能說那隻黑色的羊是在蘇格蘭發現的。”
“也不對，”數學家道，“由這次觀察你隻能說：在這一時刻，這隻羊，從我們觀察的角度看過去，有一側表麵上是黑色的！”
12專業性的看法
一個數學家,生物學家和物理學家坐在露天咖啡座上，悠閑的看著對街商店的人來人往。
首先他們看到兩個人走進商店，過了一會兒發現卻有三個人走出來；三個朋友就他們的專業發表了彼此的看法：
物理學家：這證明了測不準原理。
生物學家：這些人自我繁殖了。
數學家：若現在再有一人進入此商店則裏麵將空無一人。
13數學家與消防員
一天，數學家覺得自己已受夠了數學，於是他跑到消防隊去宣布他想當消防員。消防隊長說：“您看上去不錯，可是我得先給您一個測試。”
消防隊長帶數學家到消防隊後院小巷，巷子裏有一個貨棧，一隻消防栓和一卷軟管。消防隊長問：“假設貨棧起火，您怎麼辦？”