空間向量在立體幾何中的應用
數學教學與研究
作者：洪建新
摘 要： 高中數學新教材增添了“空間向量”這一節知識，它是平麵向量的延續和推廣，為我們提供解立體幾何問題的工具性知識.由於空間向量本身具有代數形式（有序實數對表示）與幾何形式（有向線段表示）的雙重特點（數形兼備），因此在向量知識的整個學習過程都體現了數形結合的思想方法，注重轉形為數，突出數的運算.
關鍵詞： 立體幾何 空間向量 化繁為簡
利用空間向量處理立體幾何問題的這種處理辦法就起到了避開複雜空間想象，將複雜的邏輯推理轉化為簡單機械的代數運算，克服了輔助線添加所帶來的解題難度等作用，大大簡化了思維過程，減輕了思維負擔.可見，利用向量可以把幾何結構代數化，以數明形，使向量成為具有一套優良運算通性的數學體係，成為研究立體幾何的重要工具.
本文舉例研究如何用向量方法解決立幾中的點、線、麵的位置關係問題和求角、距離問題.以此歸納總結各種題型的解法，強化“向量”的應用價值，激發學生學習向量的興趣.
一、做幾點準備
1.明確兩個重要概念
兩條異麵直線的方向向量：垂直於兩條異麵直線所在直線的方向向量的向量.平麵的法向量：表示向量的有向線段所在直線垂直於平麵，則向量叫做平麵的法向量.法向量是一個平畫的特征向量，它是處理有關平麵的軸心骨.
2.本文的兩個定義
本文稱在兩條異麵直線上各取一點（當然取特殊點）構成的向量以為兩條異麵直線的斜向量.平麵的斜線段所在直線的方向向量叫做平麵的斜向量.本文稱用舊教材處理幾何問題的傳統方法為純幾何法，稱用空間向量處理幾何問題的方法為純向量法.
3.利用空間向量處理立體幾何問題的兩個關鍵點
（1）利用空間向量處理立體幾何問題的關鍵處在於建立空間直角坐標係，建係應遵循以下兩個原則：①尋找牆角模型即三條兩兩垂直於同一點的直線.②利用直線垂直於麵.以這條直線為z軸，以這個麵內互相垂直的兩條直線為x軸和y軸建立空間直角坐標係.若有麵垂直於麵，則通過麵垂直於麵的性質定理即可得到線垂直於麵.合理地建立空間直角坐標係，是完成從幾何問題向代數問題轉化的基礎，也是難點.
（2）建立空間直角坐標係後，如何確定各點的坐標？常采用化立體為平麵的策略即先確定豎坐標，然後像平麵直角坐標係一樣確定橫坐標和縱坐標.一般有個別的點比較難求，需要結合平麵的基本知識（如平行成比例的性質）確定.
二、典例剖析，方法透視
點評：向量的巧妙之處在於避開作二麵角的複雜過程，求點麵距離的難點是作出高線，確定垂足，而此法不要求確定垂足的確切位置就可將距離求出，真正做到了避繁就簡.
總之，用向量知識求解立體幾何問題不僅簡潔明了，而且具有一般性.應用向量方法解題構思新穎，方法簡單、直觀.它可以不依賴於圖形特征，把幾何圖形的性質轉化為向量運算，變抽象的邏輯推理為具體的向量運算，實現了“數”與“形”的完美結合.