第十五章
讓“遺憾的藝術”綻放
——反思的方法
教學永遠是一門“遺憾的藝術”，沒有最好，隻有更好。因此，數學教師需要根據實際采取不同的方式方法，對自己或他人的教學進行審視、批判，通過反思，不斷更新教學觀念，改善教學行為，提升教學水平。
一、教學日誌和案例研究
教學日誌是指教師對每節課的教學經曆作書麵的反饋，有條理地對課程主要特征、富有意義的教學環節列一個清單，對教學中出現的問題進行梳理、反思，對照教案，分析學情，總結反思自己或他人教學實踐活動中的經驗與教訓的方法，是數學教師針對課堂教學常用的一種反思形式。通過撰寫教學日誌，可以及時、生動地再現數學課堂教育教學活動中的各種歡樂與憂慮的事件，對自己的教育教學活動進行不斷地分析、回顧、研究，以改進自己的教學，提高自身的反思能力。
教學日誌常用的類型有：跟蹤式教學日誌——按照時間的推進對事件發生的過程進行記述，隨筆式教學日誌——對發生在身邊的教育教學事件有感而發，網絡教學日誌——Blog，一種以互聯網為載體的日誌形式，以及專題式教學日誌——對集中於某一專題而發生的事件所進行的觀察、記錄和分析。其中，專題式教學日誌中記載的典型案例，還可對其進行專門的研究。關於案例，許多案例研究的專家都進行過不同的闡述。勞倫斯認為：“案例是對一個複雜情境的記錄。一個好的案例是一種把部分真實生活引入課堂從而可使教師和全班學生對之進行分析和學習的工具，它可使課堂討論一直圍繞隻有真實生活中才存在的棘手問題來進行。但一個好的案例首先必須是一篇好報道。”漢森“願意把案例說成是對真實事件的描寫，其中所包括的內容，能足夠引起大家思考和爭論的興趣，且富有啟發性”。理查特卻認為：“教學案例描述的是教學實踐，它以豐富的敘述形式，向人們展示了一些包含有教師和學生的典型行為、思想、感情在內的故事。”舒爾曼則是這樣簡單地來描述案例的：“一個案例，正確理解的話，不單單是一個事件或事故的報道。稱某事為一個案例就相當於做一個理論斷言——斷言它是某事的一種情況或更大類中的一個例子。”顧泠沅認為，所謂案例，是指包含有某些決策或疑難問題的教學情境故事，這些故事反映了典型的教學思考水平及其保持、下降或達成等現象。鄭金洲在《案例教學指南》一書中提出，一個案例就是一個實際情境的描述，在這個情境中包含有一個或多個疑難問題，同時也可能包含有解決這些問題的方法。李忠如認為，簡單地說，一個案例就是一個包含有疑難問題的實際情境的描述，是一個教育實踐過程中的故事。描述的是教學過程中“意料之外，情理之中的事”。總之，教學案例就是對一個真實的教學活動情境的描述，其中包含有明顯的教育教學疑難問題及矛盾衝突，以及對這些問題的解決方法。因此，教學案例具有典型性、啟發性和研究性。
反思教學“反思什麼”是讓很多教師感到困惑的問題。心性的數學課堂要求立於“心”而致其“性”，這理應成為數學教師反思的對象之一。而這個目的的實現，有賴於使用的手段，包括教學方法、教學組織形式、教學媒體的使用、師生關係等。因此，教學手段也是反思的對象之一。具體說來，反思的內容可以涉及到教學工作的方方麵麵，如對教學設計的反思，對教學實施過程的反思，對教學中出現的問題的分析與對策的反思等。以下幾個方麵是教學日誌和案例研究常常涉及到的內容。
1．課堂上發生的一些事件的記述與分析
相對於有經驗的教師來說，一節課下來，其教學效果是心知肚明的：平時課堂上較少出現的“閃光點”，抑或不盡如人意的失誤之處等。有趣的開場白，一個眼神、一個手勢而令課堂別有生趣，一種新的教法而獲得了意想不到的效果，因為一句不得當的話對學生的傷害，一個小環節上開小差走了彎路等都是教學日誌的內容，也是值得研究的案例。記錄成功點，對教師本人更好地認識學生或教學行為都有一定的啟示和借鑒作用。而那些看似令人沮喪的失誤甚至失敗點，也許是教師本人認識到的，也許是經別人指點而意識到的，都應該記錄下來成為教師本人成長過程中的寶貴經驗教訓。
2．課堂教學環境的記述與分析
課堂教學環境可以分為軟環境和硬環境，軟環境指課堂上師生互動情況、學生的學習反應等，硬環境如教室內課桌椅的擺放、教師上課站立的位置、教室布置等。也可以對這些情況進行記述，以用於分析這些環境對課堂教學效果產生的影響。
3．記述課堂教學的體會與感悟
教師可以從縱向和橫向兩個角度對自己的教學進行反思。縱向可以對照自己過去的經驗與自身所具備的教學特點，反思自己的教學；橫向可以對照專家的理論以及他人的教學，結合他人的經驗教訓反思自己的教學。課堂教學體會和感悟的內容很多，比如在教學目標方麵，可以反思教學目標是否完成，如果沒有完成，原因是什麼，教學目標是否設置得合理；在教學內容方麵，可以反思教材內容重點、難點的處理方法是否適合學生的實際情況，是否做到重點突出、難點突破，單元教學內容在學科體係中的位置是否合理，能不能補充一些新的教學內容，什麼樣的教學內容是學生感興趣的；在教學方法方麵，可以反思什麼樣的方法比較適合本節課的內容，學生對於討論法、小組學習法等是否適應，在選擇、使用不同的教學方法時要注意什麼樣的策略；在教學程序方麵，可以反思教學的導入、教學的推進、教學的結束等教學環節是否銜接得恰到好處，各環節花費時間是否合理；在師生互動方麵，可以反思教師是否過多地占用了課堂教學時間，是否過度地使用了預設，是否過分地強調了課堂紀律，學生在課堂教學中是否積極參與，學生在課堂是否敢於提出不同於教師、不同於同學的看法，學習困難的學生是否處於師生互動的邊緣，對不同的學生教師是否做到了平等對待。
案例2 概念如何教
(1)在概念的係統中教學概念
數學概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是後續概念的基礎，從而形成了數學概念的係統。根據概念之間的包含、從屬或並列關係，相應的學習可以分為上位概念學習、下位概念學習和並列結合學習。下位學習(例如指數函數等)可以看作上位概念研究過程的一種有著具體依托的訓練，下位概念作為上位概念的案例對於理解更加抽象的上位概念起到感性支撐的作用；上位學習(例如圓錐曲線作為橢圓、雙曲線和拋物線的上位概念)是一種一般化和拓展，是對問題本質的進一步揭示；並列結合學習的意義在於類比遷移，典型情況為雙曲線、拋物線是橢圓的並列結合學習。
(2)運用適宜的方式引入概念
可以從概念的現實背景引入新概念。通過引導學生觀察有關事物、模型、圖形等，讓學生在感性認識的基礎上，建立概念，理解概念的實際內容，搞清楚這些概念是從什麼問題上提出來的。例如，讓學生動手做實驗畫出橢圓，從中歸納總結出橢圓的定義。
可以從具體情景引入新概念。數學概念有具體性和抽象性雙重特征，在教學中可以從它具體性的一麵入手，使學生形成抽象的數學概念。例如，從生活情境引入函數圖象的變化趨勢，以此引入函數單調性的概念。
可以從問題情境引入新概念。為了使學生體驗“將如何建立這一概念”，可以設置一係列問題鏈，使學生在問題的解決過程中接觸並生成新概念。例如：通過列表描點、畫圖象和回答圖象中“當x從小到大變化時，y的值如何變化”三個問題，使學生經曆從圖象語言到自然語言的過渡，從中體驗單調性概念的形成過程。
(3)讓學生在參與概念本質特征的概括中形成概念
“概念形成主要依賴的是對感性材料的抽象概括，概念同化主要依賴的是對感性經驗的抽象概括”。教學中可以引導學生經曆從具體實例抽象出數學概念的過程，抽出事物的關鍵特征，摒棄非關鍵特征，並對某類具有相同關鍵特征的事物命名，使用學生能理解的方式陳述定義。例如，橢圓標準方程的推導，可給學生較多的思考問題的時間和空間，教師的作用則是幫助學生不斷地發現問題(比如，如何化簡無理式，是否保證變形等價，如何使方程更加完美、簡捷等)，從而使學生通過主動的思考形成自己獨立的觀點，而不是成為一個被動接受的容器。
(4)在挖掘新概念的內涵、外延中理解概念
數學概念大多數是通過描述定義給出它的確切含義，而描述數學概念的語言又是經過高度抽象、精心提煉的，學生往往對這樣的語言和名詞不理解。因此在教學中，要配有具體的事例分析概念，解釋概念的內涵和外延，也就是對概念從質和量兩個側麵加以認識。例如，教學橢圓概念時，首先把一根繩子對折，一端固定在一個定點上，把粉筆插在另一端，拉緊繩子，得到了學生熟悉的曲線——圓，然後提出“如果變為兩個定點，把繩子拉緊，得到的曲線會是什麼呢”這個問題，通過讓學生觀察曲線上的點滿足的幾何特征，類比圓的定義給橢圓下定義；之後，再用“以上定義是否有不嚴謹之處？若有，請做出補充”等問題，引導學生逐步完善定義。挖掘概念的內涵與外延，有利於學生對概念的理解。
(5)在概念的辨析過程中鞏固概念
對易混淆的概念進行辨析，進一步理解其區別與聯係，有比較才有鑒別。將易混淆的概念加以對比、辨析，明確它們的區別，有利於概念的理解、鞏固和深化。
(6)在運用概念解決問題的過程中深化概念
數學概念形成之後，通過具體例子，進一步認識概念，引導學生利用概念解決數學問題和發現概念在解決問題中的作用，是數學概念教學的最後一個重要環節，此環節操作的成功與否，將直接影響學生對數學概念的鞏固，以及解題能力的形成。
4．記述別人的評價
在公開課、研討課、觀摩課等活動中，不同的教師會從不同的角度提出各種不同的看法：有的進行鼓勵，有的指出不足，有的提出質疑。在教學日誌中，都應該將這些看法原原本本地記下來，以便作進一步的研究，並在今後的教學中借鑒。
5．記述教學中的生成性問題及解決過程
教師在教學過程中，經常會遇到一些預先沒有準備好而學生突然問到的問題，或者由某一問題而引發出的生成性問題。將這些問題及解決的過程記述下來，進行分析、研究，也是教學日誌和案例研究的內容之一。
6．記述學生的行為
學生是教學活動的主體，在他們的學習過程中，總會有和教師教學思路不和諧的聲音發出，總會有“智慧的火花”閃現。教師對學生就某一問題發表的獨特見解應予以鼓勵，盡量給學生提供發表不同見解的機會，以考察學生思維的偏差或思維的創造性。這將有利於拓展教師的教學思路和改進教學設計。在撰寫教學日誌時，教師要注重對學生行為的記述與分析。從學生的行為中分析自己教學的效果，反思教學活動對學生的影響，並將其作為進行教學調整的依據。學生的作業情況能真實地暴露教學中存在的不足之處，而且能反映出學生在此年齡段上思維的特點，教師也可將其作為教學日誌和案例研究的素材來源。