教師還須經常反思“學會教學”與“學會學習”兩方麵的契合程度，並根據實際製定出具體可行的策略，讓學生真正地參與到教學過程中來。首先，要讓學生明確對自己有意義的學習目標。一個單元的學習、一節課乃至一個教學活動，究竟要達到什麼目標，作為教師，一定要留出時間與學生溝通、交流，讓學生明確當下的學習對於他的成長和後續學習有什麼樣的意義。其次，學生對學習內容的質疑，不是無端的猜疑、簡單的否定，而是有根據的懷疑，因為什麼都可以質疑，唯獨不能質疑的就是我們所具有的質疑的能力。第三，我們還可以修正，因為社會在不斷地發展，不斷地出現新的情況和新的問題，比如，過去在“數學”教科書中，自然數是不包含“0”的，而今天的“數學”教科書中自然數卻包含了“0”，這一修正的必要性在哪裏？讓學生明了人類知識本身就是一個不斷修正的過程，也有助於培養他們的科學精神。第四，學生實質性地參與教學過程的途徑是多元化的理解。對同一問題，不同角度的理解、解釋，不僅有著重要的智力價值，而且對於培養學生寬容的精神、開放的心態、民主的性格也極具意義。第五，需要學生自主規劃和調控學習的進程，因為每個學生的基礎知識和經驗背景是千差萬別的，每個學生的學習性向也各不相同，給學生規劃自己學習的自主權，既有助於發展學生的學習策略，也有利於培養學生時間管理、信息管理、籌劃自己未來的能力，成為一個有頭腦、有條理的積極的生活者。第六，是對學習活動的總結和評價。通過回顧學習過程，清點學習的收獲，總結學習的方法，能夠促使學生在更複雜水平上的理解，實現經驗的概念化，有助於學生將新知識與已有知識融會貫通。
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數學課堂教學中的“一英寸寬、一英裏深”
四川省丹棱中學校 朱樺
國外教育界流傳著這樣一句話，叫“一英寸寬、一英裏深”。“一英寸寬”是指在課堂教學中知識內容要盡量少一些、精一些，才有可能將教學活動展開，才有可能深入。“一英裏深”是指內容要展開，要深入，讓學生能夠在真實、生動的課堂情境中更好地理解知識內容。
我們可以把這種觀點引用到數學課堂教學中來。數學課不但要教會學生基礎知識和基本技能，還要向“問題解決——數學思考”方向深化，教會學生用數學解決實際問題並處理其他學科提出的問題的方法、步驟，並從這些方法、步驟中總結出思考策略，培養數學素養。
·一英寸寬：知識內容要少而精
以高中代數部分“函數”的課程安排為例。函數是貫穿高中數學的一條主線，需要學生掌握比較多的基礎知識、基本技能與方法，如：定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性和周期性等。如果把這麼多的知識內容集中在一起進行學習，學生無論如何是不可能完全接受的。因此，根據教學目標與內容，2003年的《全日製普通高級中學教科書·數學》將函數奇偶性的內容放到了“三角函數”一章來處理，這樣做至少有如下兩點好處：
(1)分散難點。有關函數性質的學習可以分段完成，每段學習並掌握函數性質中的一部分內容與方法。這是將一個比較大的主題按知識點分割成多個課時進行教學的方法。
(2)通過相關知識內容，做好鋪墊學習活動。通過探討函數的單調性、函數圖象的對稱性等若幹教學活動，學生了解並掌握了研究函數性質的基本思想方法，為函數奇偶性的學習奠定了基礎。
在數學課中，絕對不是隻要掌握一些技巧，而是要掌握知識的本質，知識的來龍去脈，這比技巧更重要。而要掌握知識的本質、知識的來龍去脈以及知識中所體現的思想方法等，就是要“理解數學”。由於知識中所體現的思想方法需要達到熟練運用才算掌握，因此不能一次教得太多。否則，學生可能會局限於膚淺的理解，難以做到充分地認識，也就難以做到真正熟練地掌握這些思想方法。所以，教師必須采用適當的分解方法，將知識內容分解，讓每節課的知識內容少而精。
·一英裏深：向綜合展開，體現知識之間的聯係
知識內容少而精是手段，教學的展開與深化才是目標。在數學課中，主要應考慮向學科綜合和數學思維能力的方向進行教學展開。
這種展開是在真實、生動的學習情境中，通過課堂學習活動，讓學生運用數學的觀點、方法和知識去發現問題，做出猜測，進行推理與交流，體驗和理解數學。在學習中了解並體會數學的本質，學會運用數學的方法思考問題。這樣的展開會使學生對知識更加透徹地理解和掌握，並使其產生進一步學習數學的動力，獲得數學能力的一般發展。
以函數性質的討論為例。教師首先示範例題：已知函數f(x)的周期為4，且等式f(2+x)=f(2-x)對一切x∈R均成立。求證：f(x)為偶函數。
教師引導學生解答例題後，要求學生對問題進行多方位的研究，比如問題的條件與結論之間的關係、進一步的猜想等。
研究這個問題的條件與結論之間的關係，可以得到：
(1)若函數f(x)的周期為4，且f(x)為偶函數，則等式f(2+x)=f(2-x)對一切x∈R均成立。
(2)若函數f(x)為偶函數，且等式f(2+x)=f(2-x)對一切x∈R均成立，則函數f(x)的周期為4。
從函數圖象的角度進行研究，可以猜想：
(1)若一個函數的圖象有兩條不同的對稱軸，那麼這個函數是周期函數。
(2)若一個函數的圖象有兩個不同的對稱中心，那麼這個函數是周期函數。
(3)若一個函數的圖象有一條對稱軸和一個對稱中心，那麼這個函數是周期函數。
可以分別用一個滿足上述條件的具體的函數加以檢驗。
進一步，研究兩個函數f(x)、g(x)，可以提出下列猜想：
(1)若函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象既關於直線x=a對稱，又關於直線x=b(a≠b)對稱，則函數f(x)與函數g(x)都是周期函數。
(2)若函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象既關於點(a,0)對稱，又關於點(b,0)(a≠b)對稱，則函數f(x)與函數g(x)都是周期函數。
(3)若函數f(x)的圖象與函數g(x)的圖象既關於直線x=a對稱，又關於點(b,0)(a≠b)對稱，則函數f(x)與函數g(x)都是周期函數。
從函數奇偶性的定義出發，還可以給出“廣義偶函數”、“廣義奇函數”的概念。
(1)對於函數f(x)，若存在常數a，b，使得對於函數定義域內任意x，都有f(a+x)=f(b-x)成立，則稱f(x)為廣義偶函數。特別地，當a=b=0時，f(x)就是偶函數。
(2)對於函數f(x)，若存在常數a，b，使得對於函數定義域內任意x，都有f(a+x)=-f(b-x)成立，則稱f(x)為廣義奇函數。特別地，當a=b=0時，f(x)就是奇函數。
這裏，將函數奇偶性、周期性、圖象的對稱性等性質間的關係不斷推廣和發展，是向函數性質的綜合展開。在教師的積極鼓勵和適當幫助之下，學生運用“特殊化、一般化、分離、重新組合、類比”等思維方法，以及“分合並用、進退互化、正反相輔、動靜轉換、數形結合”等解題策略，將問題加以展開，由原問題不斷地提出新問題，探索解決新問題。在整個學習活動中，我們的目標是知識間關係的教學，讓學生體會這種學習方式與傳統學習的差異、優勢。
·一英裏深：向問題解決深化，加強對策略性知識的教學
數學課的教學目標是發展學生運用數學的思想方法解決問題的意識和能力。與其他學科不同，數學思維在學生解決問題中具有重要作用，問題解決能力的大小和學生在解決問題過程中的思考策略有密切的關係，因此，必須在解決問題的過程中加強對策略性知識的教學。
數學課向問題解決方麵深化，應當包括以下幾部分：
(1)經曆活動。讓學生通過觀察與實驗、分析與綜合、一般化與特殊化、類比與歸納等學習活動，理解數學知識間的聯係，並運用所學知識和方法解決問題。在數學課中，要強化學生自主思考、探索、實踐的問題解決活動，不能把它看作是教師講題目、學生模仿的教學過程。
(2)形成問題解決策略。學生在問題解決過程中需要形成解決問題的基本策略，並從中體會數學知識的係統性，體驗策略的多樣化，發展實踐能力與創新精神。數學課應該使學生在解決各種數學問題的過程中認識並掌握數學思考的基本方法，如歸納、類比、猜想與論證等；使學生根據已有事實進行數學推測、論斷和解釋，養成“推理有據”的習慣；使學生在麵對實際問題時，能主動嚐試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。
(3)用數學的語言、符號表達和交流。數學是一種“世界的通用語言”，它可以簡潔、清楚、準確地刻畫和描述日常生活中的許多現象。讓學生養成樂於運用數學語言進行交流的習慣，既可以增強學生的數學應用意識，也可以提高學生運用數學解決問題的能力。
(4)評價與反思。在向問題解決深化的過程中，應經常要求學生反思這樣的問題“你是怎樣想的？”“剛才你是怎麼做的？”“如果……怎麼樣？”“出現什麼錯誤了？”“你將怎麼辦？”“你認為哪個答案更好”等，來引導學生的注意力，使學生逐步養成反思的意識和習慣。
數學課堂實施問題解決的環節有：情境、模型、解釋、應用、拓展等。影響其活動的學生因素有：情緒、理解、表述、檢查、反思等。
從展開與深化的關係上來看，一方麵，展開為深化提供了情境，學生在“展開”的情境中獲得了問題解決的基礎和分析的對象；另一方麵，深化又是為了更好地展開，問題解決促進了學生知識與能力的同步提升，學生體驗到數學知識的環環相扣，就能把握數學知識的脈絡、找到解決問題的鑰匙。
沒有對解決問題的方法、步驟和策略的把握難以進行有效的數學思考，沒有相應的學科基礎知識則無法解決具體問題，兩者相輔相成，對具體問題的解決需要基礎知識和方法策略兩方麵共同作用。如果我們的每一堂數學課都能從小處入手做大文章，更強調學生的自主學習、合作探究，就會使學生的數學思維得到更大的發展。