第三，正確處理邏輯思維與非邏輯思維的關係。數學中的各種結論、定理、公式都是通過嚴格的邏輯論證得到的，這樣的事實容易給人一種錯覺，好像數學思維就隻是邏輯思維。當然，從傳統學習論的角度看，為了看懂某個定理的證明，也許不需要太多的非邏輯思維，如直覺等。但要真正解決問題，還必須邏輯思維與非邏輯思維、收斂思維與發散思維並用。就如教師們感歎的：“高考的最後兩道小題不是教會的，而是他們自已悟到的。”又比如，一道選擇題，在4個選項列舉的直線方程中選取一項符合條件的。學生當然也可以根據條件一步步地求出，但在考場上常常是依靠他們的直覺，隻是思維的“感覺”，甚至是隻依靠若幹表征，依靠放置之後“舒服”“不舒服”的感覺來判斷。人本來就有這種機製：當自己處在信息處理困難的境地時，就會回到接近智慧生命起點的地方，即用直覺等進行處理。用奧修的話來說，就是從頭腦回到心靈：“頭腦是邏輯……非常有用，在市場上，你沒有頭腦無法存在，我從來沒有說你不應該在市場上使用你的頭腦，你應該使用它。你應該使用它，而不被它所使用，那個差別是多了，所以它就宣稱它是你靈魂的主人，它的害處就是這樣開始的，它完全關閉了你的心扉。”所以，應該使邏輯思維與非邏輯思維成為思維的兩翼。一方麵，邏輯思維作為基本的數學思維形式，可以從加強感性直覺思維訓練入手，使其得到進一步的提高。比如，猜想的結果需要驗證，就會激發學生進行邏輯檢驗的欲望。另一方麵，對數學證明、推導、論證中蘊涵的條理性、嚴謹性、簡潔性、技巧性的欣賞，也會提高學生的數學感悟和鑒賞能力，使學生的非邏輯思維能力得到提高。
第四，開展形式多樣的數學問題解決活動。通常，這類活動由教師或學生自已提出問題，教師所扮演的角色是指導者、谘詢者，而不是提問、解答者。其一般步驟是：①創設問題情境，激發學生的探索欲望，並進入思考階段；②鼓勵學生重新敘述問題，對問題進行分解或轉化，使問題有更利於解決的形式；③讓學生自己探索，大膽猜想，並在適當的時候給予指導；④用各種方法初步得到問題解決的輪廓，攻克問題的關鍵點和難點，如果暫時不能解決問題，可轉入潛意識活動；⑤檢驗結果的正確性、檢驗推理的正確性，確認問題已圓滿解決。
對問題解決的反思和評價也是很重要的。在初步解決問題的基礎上，應進一步思考諸如“解答是否完善”、“題目和結論有沒有修改的可能和必要”、“還有沒有其他方法”、“有沒有更好的方法”、“這個問題的解決策略是否適用於其他問題”等。
二、“無名以觀其妙”
老子說：“故常無(名)，以觀其妙；常有(名)，以觀其徼。”這裏，“無名以觀其妙”，就是在非命名的狀態下可以觀察整體之奧妙，妙不可言，而獲得的方式是“莫名其妙”；“有名以觀其徼”，就是在命名狀態下，觀察確定的、帶有理想性和局限性的、可以言說的事物的存在與規律。“無名”指的是事物的本體——客觀規律，而“有名”指的是人對事物的認識——定理、公式。老子用“觀妙”和“觀徼”來分別描述無名態和有名態的功能。通常，“觀妙”不可言，而“觀徼”需要言。妙是事物的總體規律，需要返璞歸真，去感受或感悟。而徼是科學和學科的實在，科學與學科盡管也追求整體的“妙”，但由於它已經言說，已經命名，因而隻能局部地得到“徼”，難免有局限性，它是可以傳遞的。隻有以“觀妙”來駕馭“觀徼”，才能使一個人有本性、本心和本明，也才能立於“心”而至其“性”，培養素質底蘊。
以“觀妙”駕馭“觀徼”，即通過感性的、直觀的想象、聯想、猜想等來體察背景素材的意義，求得對知識的進一步理解。華羅庚教授說：“一本數學書應該越讀越薄。”怎樣變薄呢？其實，就是要徹底消化書中的知識，將其變為非常直觀、非常概括的材料，以至最後就隻剩下最精髓的那一點兒。這樣，“妙”就出來了，書當然也就變薄了；而在應用的時候，則可借助這個“妙”來體察“徼”，書又由薄變厚了。
感性的直觀是數學認識的基礎，是以“觀妙”駕馭“觀徼”，從而理解數學的有效途徑。比如，複數的引入，是因邏輯上的需要而直接引進的“理想元素”。在它被引入後的最初兩個半世紀中一直給人“虛無縹緲”的感覺，直至韋塞爾、高斯等人以幾何直觀為中介，相繼對它作出幾何解釋與代數解釋，把它與平麵向量或數偶對應，才幫助人們直觀地理解了它的真實意義，並取得了實際應用，提高了複數的可信性。從創造力來看，直觀能引出數學的發現，能決定理論的形式和研究方向；從數學證明看，直觀常常提供證明的思路和技巧，正如王梓坤院士所說，“在實踐中所體會到的直觀形象有助於抓住本質，它常常是理論的先導，並為理論提供思路、模型與方法。嚴格的邏輯證明和計算有時無非是直覺的一種數學加工和精確化而已。”數學直觀的世界與因果感覺的世界是對立的。數學思維不能完全形式化，數學思想是獨立於語言形式之外的，這就是“無名”；但數學又必須通過形式來表達，使其嚴格化，這是“有名”。所以，數學經過形式化而趨於邏輯上的完美，又通過直觀化而返璞歸真，這正是數學中“觀妙”與“觀徼”的辯證關係。
“觀其妙”，不僅僅是“看”，還要想象、聯想和猜想。徐利治曾經談道：“如果你有機會去讀一點數學家歐拉的傳記，或者去選讀波利亞的名著《數學與猜想》裏的有關章節，你就會知道數學中的許多漂亮公式和定理並不是靠什麼‘天才的靈機一動’想出來的，而是通過不厭其煩的歸納、類比、細心觀察等過程猜想出來的。但是猜想隻是幫助發現真理，最後還須補上一絲不苟的證明，才能把‘猜想’變成數學的定理或公式。”科學也好，數學也罷，都是“一門猜想的學問”(楊振寧語)。事實上，解數學題離不開觀察、聯想和論證，科學的發現也是這樣一個過程。
由觀察而聯想，最後給出嚴格的證明，這就是數學發現的一個簡化過程。
三、豐富數學的“心象”
數學的“心象”，是“無名”與“有名”相結合生發出來的精神圖象。在很多時候，它是“隻能意會，不能言傳”的“妙”，也是可以感知、體察的“徼”。“心象”的形成，是一種心理過程，即是在心靈之中建構“數”(符號語言——理性)和“形”(圖形語言——感性)相聯結的思想圖景。我們需要豐富數學的心象，理性思維難免掛一漏萬，而感性、覺悟往往一通百通。
著名數學家拉格朗日指出：“隻要代數與幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以後，就以快速的步伐走向完善。”心象豐富、發展了理性的數學，使其成為數與形相結合的藝術。感性的直觀使我們能夠把握許多抽象的代數式和方程的實際意義，為這些符號化的式子提供了形象而直觀的模型。如可把方程組的解看作是曲線的交點的坐標，可把一元二次方程根與係數關係的研究轉化為考察和分析曲線與坐標軸的相對位置。
向量是數、形結合的思想圖景，是數學“心象”的一個典型。引入向量和有關向量的各種運算，是中學數學教學中繼字母代替數後的又一次飛躍，它形成了一個新的運算體係，其中的運算比實數要豐富得多。向量不僅是代數對象，也是幾何的對象，從而使其成為聯係代數和幾何的一座“天然的橋梁”。向量本身就是一個重要的運算對象。向量的加法、向量的減法是向量自身的運算，向量的數乘是兩種運算對象的運算，向量與向量的數量積是一種新的運算形式，它們蘊含著一些新的運算規律。同時，向量也是直觀，而且是一種抽象的直觀，是幾何代數化的典範。
數學“心象”的另一個典型代表就是解析幾何的誕生。華羅庚教授把解析幾何稱為“數學中數形結合的寵兒”。它的產生，把數學推到了一個新的階段。借助於幾何學中感性的、直觀的意象，代數學中的許多概念得以延伸並獲得意義。如以線性方程(一次方程)為主要對象的線性代數，就是在線性空間概念的基礎上構造起來的，這裏的“線性”、“空間”等概念並不是代數學本身所固有的，而是從幾何學中借用的。
以傳統的觀點來看，空間概念是人們在社會實踐活動中逐漸抽象和確立起來的。這種空間概念具有明顯的直觀性和經驗性，如一維的直線、二維的平麵和三維的立體。解析幾何使得空間的幾何結構實現了數量化，而數量化了的空間幾何結構已不再局限於一維、二維和三維，它可以是n維以至無窮維。這就把空間概念從低維擴張到了高維，即把數學研究的內容從現實空間圖形的性質擴展到了抽象空間圖形的性質，而這種抽象的空間圖形正是數學的“心象”。
這種數學“心象”使空間的進一步抽象化變得直觀、自然。在初等的二維空間(平麵，坐標軸為x1軸，x2軸)，直線是用變量x1，x2的線性方程來表示的，圓和圓錐曲線則由二次方程來表示。
數學的“心象”是形象直觀的，是可感知和體察的。人們借助數學的形象直觀去把握信息的方方麵麵，在數學學習中起著很大的作用。例如，數列與點圖作為函數與圖象的特殊情況，借助數形結合，我們就可以像研究函數一樣來研究數列的性質。
形象直觀可以觀“妙”，數據計算則可觀“徼”。“國際象棋棋盤麥粒”的故事和“折紙若幹次高度竟比珠穆朗瑪峰還高”的現象告訴我們，計算可以克服盲目和想當然的弊端。設想你處在一個表麵極其光滑而且像地球那樣大的圓球上，一條鋼帶緊緊箍住了這個球的赤道。如今給這條鋼帶增加一米的長度，使得鋼帶離開了球的表麵，並且處處同球麵保持著相等的距離。鋼帶的這種升高，是不是足以使你能夠在鋼帶下麵塞進你的一隻拳頭？麵對這個問題時，60%的學生憑借自己的直觀想象力認為不能！
資料鏈接
“幾何畫板”環境下學生自主合作學習策略
四川省丹棱中學校 朱樺
在研究“幾何畫板”環境下學生“自主合作學習”模式的過程中，我們著重研究了“幾何畫板”環境下數學課堂教師與學生、學生與學生之間的關係，這是傳統教學過程中影響學生“主體地位”發揮的重要因素之一。在“幾何畫板”環境下，教學模式的改變必然對學生在新的教學環境中的自主合作學習產生影響。怎樣發揮“幾何畫板”在數學課堂教學中的功能？教師在學生自主合作學習中的作用如何？如何解決學生在新的教學環境中存在的種種問題？