(2)對自然界的研究應當是精確的、定量的，而不應該是含糊的、直覺的。
(3)批判的精神和開放的頭腦，即把理性作為判斷、評價和取舍的標準。
(4)抽象的、超驗的思維取向，即超越直觀經驗並通過抽象思維達到對於事物本質和普遍規律的認識。
數學理性的這些特質，構成了理性思維的內涵，成為人類思維的象征，從而也使數學理性成為人類文明的核心部分之一。
三、鐫刻文化的密碼
《標準》在課程目標中提出，要使學生“具有一定的數學視野，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神，體會數學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和曆史唯物主義世界觀”。肖文強先生在分析數學教育的目標時指出：“單是學的傳授，僅是狹義的數學教育而已。才、學和識三者兼顧才是廣義的數學教育。這種廣義的數學教育不僅把數學視作一件實用工具，而是通過數學教育達至更廣闊的教育功能，包括數學思維延伸至一般思維，培養正確的學習方法和態度、良好的學風和品德修養，也包括從數學欣賞帶來的學習愉悅以及知識的尊重。”他進一步提出：“學、才、識正好借用以概括三項數學教育目的，即(甲)思維訓練、(乙)實用知識、(丙)文化素養。”鄭毓信先生還提出：“按照動態的數學觀，在數學教育中我們也就不應唯一地去強調數學知識的學習，而應更重視如何幫助學生學會像數學家那樣去工作、像數學家那樣去思維。”
心性的數學課堂當以傳播先進的數學文化為己任，立於“心”而致其“性”，這是必須的，不可輕視的。《標準》在數學文化的說明與建議中指出：“應當采用多樣化的教學方式。例如，教師可以在教授數學知識時介紹有關的背景文化；可以做專題演講；也可以鼓勵和指導學生就某個專題查找、閱讀、收集資料文獻，在此基礎上，編寫一些形式豐富的小作文、科技報告，並組織學生進行交流。”這需要我們在教學中適時地展示數學的文化背景、數學的應用價值，展現數學家探索的艱辛曆程及數學思想方法的形成過程，從而使學生理解數學知識發展的脈絡，感受浸潤於其中的數學文化。
案例12 “虛數”的產生及其教學設計
12世紀，印度數學家婆什迦羅在研究方程時注意到了負數開平方問題，他指出：“正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的，一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因為負數不是平方數。”
當時婆什迦羅並沒有意識到“負數的開平方”的背後隱藏著巨大的數學奧秘，他的一句語氣非常肯定的話語——“負數沒有平方根”扼製了後來人對這一問題進行探索的欲望，以至於在隨後的長達400年的時間裏，各國數學家都采取了漠視和回避的態度對待這個問題。
直到1545年，“負數平方根”重新引起了人們的關注。意大利數學家卡丹(G．Gardano，1501-1576)在研究一個一元三次方程解的時候，給出了一個當時讓人們感到不可思議的表達式，利用它，那個一元三次方程就可以迎刃而解了。
可是卡丹對他自己的這種做法是否合理，以及負數的平方根到底是否存在，深感疑慮，所以他不得不稱這個表達式是“虛構的”、“想象的”。
由此看來，當時人們雖然差一點就要推開“虛數”這扇沉重的大門，卻終因“虛數”的虛無縹緲和不可捉摸，使得人們對它產生了極度的困惑和不解，而隻能繼續徘徊於複數這座數學的宮殿大門之外。
數學大師歐拉(L．Euler，瑞士人，1701-1783)在使用虛數時，竟然作出如下的描述：“一切形如-1，-2的數學式，都是不可能的，都是想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們隻能斷言，它們既不是‘什麼都不是’，也不比‘什麼都不是’多些什麼，更不比‘什麼都不是’少些什麼，它們純屬虛構。”
就這樣，人們在“虛幻”中又度過了200年！直到18世紀，挪威的測繪員威賽爾和巴黎的會計師阿爾幹借助於法國數學家笛卡兒(R．Des-cartes，法國人，1596-1650)的平麵直角坐標係，給複數作出了令人信服的幾何解釋，從此長期籠罩著虛數的神秘麵紗終於被揭開了！
從開始注意到虛數一直到徹底認清它的真實麵目，人們整整耗費了600多年的時間。其間，眾多傑出的數學家對這個問題全都束手無策，這種現象在整個數學曆史上也是罕見的。究其原因可以歸納為兩條：
(1)思維定勢。因“負數的平方根”是由數的運算(或解代數方程)而產生的，人們理所當然地認為它也應該是通常理解的、熟悉的數——實數，也應符合真實的運算法則，因而人們的思維被禁錮在實數這個狹小的區域內。在此期間人們對它表現出來的種種“困惑”，全都是因為始終在實數的範圍——“一維”的思維形式中兜圈子的結果。
(2)條件限製。人們的思維不能從“一維”的定勢中跳出來而進入“二維”，除了長期思維僵化而引起思維定勢這個原因外，條件是否成熟無疑是至關重要的。在長期的“虛幻”中，笛卡兒，還沒有出現；費爾馬，無人認識；平麵直角坐標係，不知為何物；點的坐標、有序數對，更是天方夜譚——解析幾何的思想還在數學的搖籃中睡覺。
中學生在學習中對“虛數”表現出的困惑主要表現在：
(1)表現出激烈的內心衝突。固有的實數性質和運算法則與“虛數”的運算結果之間所產生的矛盾，往往引起學生心理上的疑慮和不安。
例如，一個數(學生依然認為是實數)的平方竟然是負數。
(2)對新學的知識難以接受和認同。
例如，在他們心目中，所有的數都可以比較大小，而兩個複數卻不能比較大小！對新知識的拒絕和排斥因此而產生。
(3)無法理解複數的本質。一個數怎麼是一個點的坐標，甚至是一個向量？
基於上述對複數曆史的分析，可做如下設想：
(1)避免重複前人所走的彎路。曆史已經證明，以“一維”的思維形式來回答“負數的平方根”到底是什麼“數”，是一條死胡同。因此，在教學中應該認真考慮如何繞開這條死胡同的具體措施。
(2)放棄使用“x2+1=0是否有解，解是什麼”這種方式引出虛數的傳統做法，因為這種做法很容易使學生陷入歐拉所說的“什麼也不是”的泥沼之中。
(3)以“二維”的思維方式引出複數概念，跳出“一維”思維方式的框框。
學校是傳播、分享人類精神文化遺產、建構個體精神世界、培養文化創造者的場所。高中數學新課程為學生設置了必修課程、選修課程和學校開發的校本課程，可以通過開設選修課程、校本課程(如“數學史選講”、“數學文化與審美”)，以專題講座和學生自主探究活動的形式，讓學生感受數學文化，理解數學文化。
案例13 數學在人文、社會科學中的應用
20世紀，特別是20世紀中葉以來，現代數學的許多新理論相繼誕生，這些新理論正開始逐步填補人文、社會科學應用數學的空白。特別是模糊數學與隨機數學的誕生，給人文、社會科學應用數學插上了翅膀。模糊數學給人類社會普遍存在的模糊現象賦予了數學意義，特別是思維、語言、知覺等。社會科學中各種具體的或抽象的結構，都需要用模糊性觀念去進行構造和分析。模糊數學的數學模型為研究各種人文、社會科學形式與本質的有機統一奠定了初步的基礎。在人類社會生活中，除了各種必然現象外，還存在著大量的或然現象。以隨機過程數學和數理統計為主要內容的隨機數學的產生，把各種或然現象的研究建立在隨機性模型的基礎上，使人們對偶然性與必然性各自的本質及兩者的辯證關係的描述達到了數學認識的水平。現代統計方法已由對靜態事物的統計描述發展為對動態事物的推理性分析。法國數學家托姆創立的突變理論，被數學家齊曼讚譽為繼微積分之後的又一次數學革命，是研究突變或不連續變化現象的數學理論。運用突變理論，可以對諸如生態學、地質學、係統演化、經濟結構變化、質量互變規律、自然災害等許多難以用微積分加以解釋的不連續變化的自然和社會現象進行數學刻畫。20世紀70年代產生的模型論是數學的一個新的分支，它與計算機視覺、語言識別、符號處理及人工智能有關，被認為包含著有關思維本身的普遍理論的胚胎。還有混沌理論與算法不可解理論，提出了社會係統預測與調節的理論極限，為社會係統的預測與調節奠定了基礎。由於社會科學對象的數學模型通常是一種理想化狀態，其數學解與現實還有距離，因此應提高數學解的解釋功能，使數學更有效地被人文、社會科學所運用。例如就模糊係統來說，隻有當具有模糊思維能力的人工智能機被開發出來，才能使模糊模型真正地進入實用化階段。
20世紀是社會生產力大發展的世紀。由數學家所引發的第二次工業革命(控製論)推動了產業革命和新技術革命的浪潮，使生產力結構產生根本變革。在生產力構成中，科學技術含量越來越高。以前數學僅被看做最高的科學典範，而現在由於計算機技術和計算機的廣泛應用，數學的科學性質被廣泛地技術化了，數學作為一種高技術的功能正在迅速的膨脹，並導致社會結構產生許多根本性的變化。數學的技術化為人文、社會科學研究拓展了新的視野，極大地推動了人文、社會科學研究的進展。從生產力發展和社會關係變革的角度看，由於社會分工越來越細致，社會生產與社會生活的技術化水平日益提高。現代社會係統日益龐大，組織結構日趨複雜。相應的對社會係統進行準確的預測並加以有效的控製就顯得尤為必要。
控製論創始人之一的維納，在《控製論》一書中提出了社會控製的概念。控製論作為模型化、數學化的理論，作為信息、信息處理和信息處理係統的技術，不僅能對已知消息係統的未知進行預言，而且能對某個客體化或其對象按要求的進程進行預言，實現了孔德關於“認識是為了預言”的準則。人文與社會科學的許多學科(例如文學、政治、語言學、社會學、心理學、教育學等)發展到當代，已致力於把考察其信息對象及把這些信息對象理解為一個整體作為自身的主要目標。人文、社會科學由此可被納入控製論技術研究的範圍。如20世紀60年代初誕生的現代控製理論，已與經濟管理、運籌學相結合，產生了係統工程學，它在解決重大社會問題中顯示出巨大的威力。大型的社會科學研究課題必須采用係統工程方法。現代社會的發展對政策製定、管理和實施人員的數學素質提出了很高的要求。一個社會結構越複雜、功能越多、組織越嚴密、效率越高，就越需要優良的管理係統。而數學在社會科學應用的一個基本目標就是通過結構設計來預測並控製大範圍的社會係統。還有像運籌學、排隊論、模擬、網絡分析、線性規劃等數學技術作為現代企業管理者必備的知識，已成為一個完善、高效和複雜的工業企業或社會體係必需的高深技能之一。計算機作為數學技術最廣泛的應用領域，已經成為社會生活中共同的必不可少的工具。要想把計算機更好地應用到社會科學研究中去，就必須深刻地理解並掌握計算機的語言，與此相關的離散數學知識就成為必備的計算機文化基礎。計算機模型使各種數學模型計算機化，成為實際可操作的程序，從而完成了從理論模型向應用模型的轉化。而計算機的解決問題、模擬和製定決策都依賴於從基礎數學和應用數學理論不斷的新發展中得到的強有力的計算算法。