第十一章
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數學美探源
四川省丹棱中學校 朱樺
歌德說：“美其實是一種本原現象。它本身固然從不出現，但它反映在創造精神的無數不同的表現中，都是可以目睹的，它和自然一樣豐富多彩。”他又說：“我們固然不能說凡是合理的都是美的，但凡是美的確實都是合理的，至少是應該合理的。”這合理兩字實際就包容了豐富的數學美的內涵。比如黃金分割，生活中大到高入雲天的建築，小到日用的器皿，無不符合這黃金分割的原則，所以才顯得如此美麗，如此壯觀，如此讓人賞心悅目。
數學的研究似乎是艱苦而枯燥的，其實持此看法的人，對數學知之甚少。他們隻是趴在數學宮殿的門縫裏瞥了一眼。數學用數字、符號和字母組成了一個精美絕倫、流光溢彩、金碧輝煌的建築群落。如果你走進這座大門，你就會被數學的美激動得不能自己！天地宇宙很美，世間萬物很美，文學藝術很美……，因為這些都是形象的、直觀的，而數學美卻是抽象的，是隻能意會而很難言傳的。愛迪生說得好：“最能打動心靈的還是美，美立刻在想象裏滲透一種內在的欣喜和滿足。”這種感受是局外人絕對無緣享受的。
數學美的概念，並不是現代才產生，它隨著人們對數學王國的探索和研究而日臻充實和完善，而且還在不斷地充實和完善。
古希臘哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras，公元前572-497)，最早試圖依據數和數的比例論述美和美的形式。他說：“美就是和諧，整個天體是一種和諧。宇宙的和諧是由數組成的，因而數構成了整個宇宙的美。”
古希臘數學家歐幾裏德是提出數學演繹美與嚴謹美的鼻祖。歐幾裏德著有《幾何原本》13卷，內容包括對早期幾何成果的係統整理，以及部分初等數論與初等代數知識。《幾何原本》係統地采用公理化方法，從公理出發，用嚴密的演繹推導出一整套幾何理論，它是數學著作中的美學典範。
數學美起源於人們的生產與生活之中，它是自然美的客觀反映，又隨著數學本身的發展和壯大，它也不斷地擴充與更新。
既然數學美是存在的，那麼，數學美的特征是什麼？什麼是數學美呢？
數學美的含義十分豐富，很難用一兩句話給它下定義。事實上，數學美是無法定義的。用數學的語言來說，它是不加定義的原始概念。數學美是美的最高形式，是抽象思維與審美意識交融的產物。英國數學家哈代說得好：“數學的美可能是很難定義的，但它的確是一種真實的美，和任何其他美一樣。什麼是一首美麗的詩，我們可能不很清楚，但這並不妨礙我們讀詩時去鑒賞它。”
盡管如此，我們可以同時從數學和美學的角度去理解和探討。
英國著名哲學家、數理邏輯學家羅素指出：“數學，如果真正地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美。這種美不是投合我們天性脆弱的方麵，這種美沒有繪畫或者音樂那樣華麗的裝飾，它可以純淨到崇高的地步，能夠達到嚴格的隻有偉大的藝術才能顯示的那種完滿的境地。”
我國數學家徐利治說：“作為科學語言的數學，具有一般語言文學與藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構上和方法上也都具有其本身的某種美，也就是所謂數學美。數學美的含義是豐富的，如數學概念的簡單性、統一性，結構係統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等都是數學美的具體內容。”
和任何美感一樣，人們對於數學的美感也具有強烈的感情色彩，而且，不同的人關於數學美的標準也各不相同。但是，從整體上說，數學美感決不是什麼虛無飄渺、忽有忽無的東西；數學美也絕不是什麼純粹主觀、不可捉摸的東西，而是有其確定的客觀內容。由於數學的發展及人類文明的進步，數學美的概念也必然有一定的發展和演變，但其基本內容是穩定的，簡言之，數學美主要表現在：對稱性、簡單性、奇異性和抽象性。
數學美的含義十分廣泛。按數學內容與方法分，可分為結構美、方法美與語言美；按思維與創造分，可分為邏輯美與創造美；按層次與結構分，可分為形態美與內在美；按理論與實踐分，可分為嚴謹美與應用美。
數學的結構美是指數學知識本身嚴謹、和諧、有一定內在的邏輯聯係，它給人以美的啟迪和美的享受。
楊輝三角獨特的結構和內在強烈的規律性是一種天造地設的取之不盡的美。
數學方法美是指數學證明方法與思維方法在解決問題時體現出來的美妙和使人感到的愉悅的美感。一種簡單而巧妙的解法，本身就是一種無可言傳的美，不是常說“妙不可言”嗎？
數學語言是借助數學符號來表達的。數學語言美的特點主要是準確性、有序性、概括性、簡單性與條理性。科學史上許多名垂千古的理論，正是運用數學語言構成的簡單公式表達的。S=1/2at2，幾個最簡單的符號就把物體作勻加速運動的規律描繪得淋漓盡致。形式如此的簡單，內涵又是那樣的深邃。
我們最有感受的應該是數學的形態美。它是數學圖形、公式、法則、理論等直接刺激人的感官所覺察到的一種數學外在美。波浪滾滾的正弦曲線、欲達不能的漸近線、翩翩起舞的蝴蝶定理、茉莉花瓣(方程x3+y3=3axy所表示的曲線)以及玫瑰花瓣(極坐標ρ=asinRθ表示的曲線，其中a和R為正的常數。給R以不同的數值，可以獲得任何一個花瓣的“花”，a的大小確定花瓣的長度)。你說美不美！
數學的內在美是人們對數學理論與應用由內心深處感受到的一種美。它是指人們在抓住數學知識之間的內在聯係的基礎上，所萌生的一種美好的心理感受，它具有極強的邏輯性，它啟發我們進一步去思索和總結，通過它內在的那種強大的組合力與通透性，可以把不同的學科有機地聯係起來。
從上述的公式美，我們真正從心理上感受到了內在的無限美感。
數學嚴謹美的表現也是多層次的。首先是基本結構的嚴謹，然後才是推理證明的嚴謹。前麵所說的歐幾裏德《幾何原本》13卷就是數學中嚴謹美的典範。我們往往為數學的精巧的結構和嚴密的推理拍案叫絕，正如數學家哈代所說：“數學定理的美很大程度上就看它是否嚴謹，正像詩行的美在某種程度上就看詩意是否雋永。”
數學的應用美是指應用數學解決各方麵問題時，通過具體成果呈現的一種美的感受。數學應用非常廣泛，華羅庚說：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。”數學之美正是通過大量的它的應用來體現的。而人類正是在對數學的深刻研究中，發現和創造了更美好的東西。山河重安排，巧奪天工的輝煌建築，千奇百怪的幾何圖形……這些靠人力的鬼斧神工鑄造的藝術之美，是數學應用美的自然流露。更有那些為數學而奮鬥終生的無數偉人，又為數學增添了一道道無可比擬的壯烈之美的風景線。
最美，莫過於壯烈美！
心與世界的對話
——文而化之
“體現數學的文化價值”是數學課程的基本理念之一。張奠宙先生說：“數學不僅是數字、符號、公式，而且還有浸潤其中的數學文化。隻有把抽象的、邏輯的、嚴謹的數學，即冰冷的數學，轉化為生動的、人文的、思考的數學，即火熱的數學文化，數學課堂才是人才陶冶的爐膛。”這樣的課堂，當是心性的。也隻有在這樣的數學課堂上，才能讓學生感受到數學的理性之美、智慧之美，感受到人類心靈的博大與深邃，感受到人類所創造的文化的燦爛與輝煌。
一、數學：文而化之
在人類文明的發展史上，數學一直是一種主要的文化力量。數學家外爾(Hermann Klaus Hugo Weyl，1885-1955)說：“數學是除了語言與音樂之外，人類心靈自由創造力的主要表達方式之一，而且數學是經由理論的建構成為了解宇宙萬物的媒介。因此，數學必須保持為知識、技能與文化的主要構成要素，而知識與技能是得傳授給下一代，文化則得傳承給下一代的。”
從廣義的角度，文化是指通過人的活動對自然狀態的變革而創造的物質財富與精神財富的總和，即一切非自然的、由人類所創造的事物或對象。克萊因說過：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作”，“無論就事實性結論(命題)，或是就問題、語言和方法而言，都是人類思維的產物；而且它們又都應被看成‘社會的建構’，這也就是說，隻有為‘數學共同體’所一致接受的數學命題、問題、語言和方法才能真正成為數學的組成部分”。數學是人類抽象思維的產物，是理性精神的化身，作為一種寶貴的、無可比擬的人類成就，無疑就是一種文化。
克萊因指出：“在人類文明中，數學如果脫離了其豐富的文化基礎，就會簡化成一係列的技巧，它的形象也就被完全歪曲了。由於外行人很少使用數學技巧及其知識，因此，他們對這些通常顯得枯燥無味的東西很反感。這樣一來，對於數學這樣一門基礎性的、富有生命力的、崇高的學科，就連一些受過良好教育的人也持無視甚至輕蔑的態度。”而實際上，從古希臘開始，數學的發展就和人類對美的追求，對靈魂的解放聯係在一起。近代，數學不僅和科學的發展聯係起來，而且也為西方文化的發展、文明的進步作出了重要貢獻。而到了現代，數學所起的作用可能與我們更密切，當一般人極力逃避數學的時候，我們在生活中的各種行為和選擇，卻往往受到數學的影響，如概率統計在選舉和天氣上的作用，概率對決定論的破壞以及對人類自由的維護，等等。而對於個人的發展來說，數學不僅僅是一門工具，還是具有內在價值的精神產物和文明成果。在一個人運用數學進行思維的過程中，所鍛煉的不僅僅是他的思維方法，更重要的是，他的許多觀念也會發生變化，他會對倫理上的決定論和非決定論產生新的認識，從而更深刻地領悟人類的自由，他會了解所謂的客觀的審美標準是什麼，並意識到數學中存在的和諧、對稱之美的本質及其獨特性。
當然，與古希臘數學、西方數學和現代數學不同，中國古代數學多半以“管理數學”的形式出現，目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計算稅收、運輸糧食等國家管理的實用目標。理性探討在這裏退居其次。“經世致用”作為中國古代社會文化思想的一個基本特征，奠定了中國古代數學的實用主義基調。這也使得中國古代數學在算法上取得了長足的發展，負數的運用、解方程的開根法，以及楊輝(賈憲)三角、祖衝之的圓周率計算、天元術那樣的精致計算課題，也隻能在中國誕生。
2002年8月20日，丘成桐接受中央電視台《東方時空》的采訪時說：“我把《史記》當作歌劇來欣賞”，“由於我重視曆史，而曆史是宏觀的，所以我在看數學問題時常常采取宏觀的觀點，和別人的看法不一樣。”這是一位數學大家的數學文化觀念。
《文彙報》2002年8月21日摘要刊出錢偉長的文章《哥丁根學派的追求》，其中提到：“這使我明白了：數學本身很美，然而不要被它迷了路。應用數學的任務是解決實際問題，不是去完善許多數學方法，我們是以解決實際問題為己任的。從這一觀點上講，我們應該是解決實際問題的優秀‘屠夫’，而不是製刀的‘刀匠’，更不是那種一輩子欣賞自己的刀多麼鋒利而不去解決實際問題的刀匠。”這是一個力學家的數學文化觀。
半個多世紀以前，著名數學家柯朗在名著《數學是什麼》的序言中這樣寫道：“今天，數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機。數學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。數學研究已出現一種過分專門化和過於強調抽象的趨勢，而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯係。教師學生和一般受過教育的人都要求有一個建設性的改造，其目的是要真正理解數學是一個有機整體，是科學思考與行動的基礎。”