第十章
——心性相悅
作為包括了自然科學和人文社會科學在內的所有科學的共同語言，數學無處不在，無時不有。克萊因說過，“數學是人類心靈的創造物”。數學的發展推動著人類社會的進步，也促進了人之心性的生長。在數學應用的實踐體驗中，學生將抽象的數學內容附著於現實的背景當中，用數學的心眼看世界，必將進一步深化對數學的認識和理解。
一、人類心靈的創造物
華羅庚教授說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。”數學的高度抽象性決定了其理論的普適性，從而使數學具有應用的廣泛性。數學家楊樂在20世紀末曾撰文提到：“一些數學方法可以很好地解決科技、經濟和國防上的問題。例如60年代，某大國的一位國防部長是一位數學博士。在出任部長前，他曾提出一個報告，用最優化等數學方法可以將該國的防務開支減少1/3而使防衛力量保持不變。再例如，現在醫療上普遍使用的CT掃描，其理論基礎就是數學中的拉東(J. Random)變換。拉東變換是本世紀初出現的一種積分變換，當時完全沒有想到這個積分變換後來在實際中會發揮如此作用。”20世紀後半葉以來，隨著知識經濟時代的到來，人文社會科學也呈現出數學化的傾向，產生了諸如數理哲學、數理經濟學、計量經濟學、信息經濟學、管理控製論、人口統計學、法製係統工程學、數學心理學、社會計量學、數理語言學、教育統計和模糊美學等大量新興的邊緣或交叉學科。數學已經成為連接社會科學與自然科學的橋梁和紐帶。數學不僅僅是為自然科學提供語言和工具，而已成為包括人文、社會科學和社會生活方方麵麵在內的更為廣泛意義上的文化。關於這一點，皮亞傑曾精辟地論述道：“因此‘精確的’這個詞主要適用於數學。但數學是‘自然的’嗎？如果人們僅僅想說數學適用於自然，那麼應該回答說數學同樣適用於人類。”
在數學教育領域，伴隨新課程改革的不斷深入，促使課程與現實之間的緊密結合也已成為新課程標準論證的焦點：“數學與社會有著如此密切的聯係，對公民的數學素養提出了越來越高的要求，所以在為學生提供他們生活和工作中所需的數學的同時，要使學生認識到現實生活中蘊涵著大量的數學信息，數學在現實生活中有著廣泛的應用。”數學課程內容的呈現應該是現實的、生活化的，尤其是要貼近學生的生活現實，使學生體會數學與社會的聯係，體會數學的價值，增進對數學的理解和應用數學的信心。《標準》把“發展學生的數學應用意識”作為課程的基本理念之一，並特別強調：“高中數學在數學應用和聯係實際方麵需要大力加強”；同時指出：“高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯係，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。”
類似的例子還有很多，諸如儲蓄的利率問題、測量問題、線性規劃問題、生產過程中的質量控製問題、天氣預報問題及投資評估等。立於“心”而致其“性”，就會讓數學貼近實際、貼近生活、貼近社會。學生也會真切地體會到“數學與我有關，與實際生活有關，數學是有用的，我要用數學，我能用數學”，品味到數學的真正魅力。
二、數學建模：走向生活實際的通途
今天，數學已經被廣泛地應用到自然科學和社會科學的各個領域，甚至被作為檢驗一門學科是否稱得上是科學的標準。數學應用到各個領域，是以數學模型的方式進行的。數學模式與模型成為連接抽象理論與現實世界的橋梁，“數學是關於模式和結構的科學”。美國數學家斯蒂恩說：“人們用數學語言做的事就是描述模式。數學是一門開發性的科學，它謀求理解任何一種模式——出現在自然界的模式，人腦所發明的模式，甚至其他模式所創造的模式。”
關於模式，查有梁從科學方法論的層麵給出過定性描述：
建構模式是一種重要的科學操作與科學思維的方法。它是為解決特定的問題，在一定的抽象、簡化、假設條件下，再現原型客體的某種本質特性；它是作為中介，從而更好地認識和改造原型、建構新型客體的一種科學方法。從實踐出發，經概括、歸納、綜合，可以提出各種模式，模式一經被證實，即有可能形成理論；也可以從理論出發，經類比、演繹、分析，提出各種模式，從而促進實踐發展。模式是客觀實物的相似模擬(實物模式)，是真實世界的數學描寫(數學模式)，是思想觀念的文字表達(語義模式)，是客觀現實的形象顯示(圖像模式)，是情感體驗的聲音抒發(音樂模式)。
模式是總結出來的樣式，模型則是建構起來的結構關係。數學模型是數學抽象的產物，是對現實世界中某種事物係統的簡化與抽象的結果。數學中每一個概念、公式等都是直接或間接地以各自相應的現實原型為背景抽象出來的，所以它們都可以被看作數學模型。而數學建模就是針對一種現象或一類問題建立一個數學模型，以反映現象或問題的規律性，揭示現實原型的形態、特征和本質。
數學建模為學生提供了將數學與生活實際相聯係的機會，提供了運用數學的機會。數學建模的過程，就是學生將所學數學知識應用於實際問題的過程。在這裏，學生會體驗到從實際情境中抽象出數學概念、得出數學結論的過程，是獲得“再創造”數學的極好機會。在建立模型、形成新的數學知識的過程中，學生更深切地體悟到了數學與大自然和社會的天然聯係，因此，“問題情境—建立模型—解釋與應用”作為課程內容的呈現，以及學生學習過程的主要模式，也成為心性的數學課堂上的一道亮麗的風景。
三、用數學心眼看世界
數學來源於生活，又應用於生活。克萊因就說過：“數學學科並不是一係列的技巧，這些技巧隻不過是它微不足道的方麵：它們遠不能代表數學，就如同調配顏色遠不能當作繪畫一樣。技巧是將數學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落後的產物。如果我們對數學的本質有一定的了解，就會認識到數學在形成現代生活和思想中起重要作用這一斷言並不是天方夜譚。”然而，在“應試”的課堂上，數學教學活動已經演化成了“定義—性質(定理)—解題”的模式，於是，“一方麵，人人都知道數學很重要——從小學到大學數學均為主課，而且是選拔的‘篩子’；另一方麵，大多數人卻不知道數學有何用和怎麼用，大學生待到專業課要用到數學時才認識到數學的重要，可為時已晚(因為上數學課已成過去時)。”數學作為“人類心靈的創造物”，與現實世界有著天然的、本質的聯係。心性的數學課堂強調將數學與現實生活緊密相聯，通過數學建模、數學探究性學習，促進學生了解數學與其他學科及日常生活的相互聯係，學會用數學的心眼看世界，並運用所學知識解決實際生活中的問題。
案例9 上樓問題的數學模型(高2009級4班課題組)
組長：何豔婷
組員：何豔婷、顧孟麗、宋詩豔、陳雪嬌
1．研究背景
2005年10月31日下午，譙城區估衣小學學生上下樓梯擁擠踩踏造成10人受傷，其中3人傷勢較重。其中原因固然有諸多方麵，但由此使我們聯想到了上樓問題中的數學模型。上樓問題是一個經典名題。在我國中學數學教材和教參中，它作為遞推數列模型出現，同時也出現在中學數學習題、考題和數學競賽題中。
2．研究目的
通過文獻調查和現場調查，我們認為上樓問題在實際生活中普遍存在，且具有濃厚的趣味。但是非常複雜。經過小組成員的充分討論，我們最後確定以學校教學樓的樓梯作為研究對象，旨在現有條件下，希望能夠尋找並建立理想化的上樓問題的數學模型。
3．研究假設
在實際生活中，上下樓梯是很普遍的事。單是上樓或是下樓，就有許多種方法：可以邁一步上一級台階；可以邁一步上兩級台階；也可以邁一步上三級台階。除此之外，我們還可以將以上三種方法搭配著走，這樣一來，就有了許多種走法。由此，我們對一般的上樓問題提出了如下假設：
某樓梯有n(n≥1)級台階，某人一步最多邁m(n≥m≥1)級，有多少種不同的方案上樓？
我們試圖找出該問題的數學模型。
4．研究過程和結果
(1)問卷調查及材料分析
為了更好地了解台階走法的情況，課題組於2007年1月3日下午在丹棱中學教學大樓作了實地考察，並進行了采訪問卷。考察情況和分析結果如下：
考察時間：2007年1月3日下午5:00~5:30
考察地點：丹棱中學教學大樓
考察人員分工：教學大樓一樓由何豔婷負責；二樓由顧孟麗負責；三樓由宋詩豔負責；四樓由陳雪嬌負責。
考察結果：
規定邁一步上一級台階為小步，邁一步上兩級台階為中步，邁一步上三級台階為大步。
考察結果分析：
從考察結果可以看出：
①上樓邁步階級數一般在兩級台階左右，以兩級台階為主；
②10層台階一般集中在邁5步完成；
③二樓多數都是趨於用中步；
④大部分同學都是用中步上樓梯，可見中步是最普遍的；
⑤上樓邁步方式多種多樣，各不相同。
(2)數學模型的建立
①上樓問題的遞歸模型
我們首先研究了下列特殊情況：
(a)某同學任意使用小步或中步，上到第10級台階共有幾種不同的邁步方法？
(b)某同學任意使用小步、中步或大步，上到第10級台階共有幾種不同的邁步方法？
接著，我們重點研究了下麵的問題：
某樓梯有n級台階，某人一步最多邁三級，問有多少種不同的方式上樓？
經查閱資料，我們始終沒有找到通項公式。詢問老師後，我們知道了通項公式是可以找到的，這需要高等數學的知識，或利用高中組合知識也可以得到解決。依靠我們所掌握的數學知識，尚不能解決。