基於最小二乘法的曲線擬合
商界論壇
作者：權開波 賈寧 杜培壽
摘要：本文介紹曲線擬合法的基本原理，利用用最小二乘法分別確定線性曲線、多項式、指數曲線的函數模型，並對模型的各個參數進行求解。並用Matlab編製程序，對樣本數據進行指數擬合與仿真。
關鍵詞：曲線擬合；最小二乘法；matlab；仿真
根據有限的離散測量點進行曲線擬合是工程實踐中經常遇到的問題。曲線擬合是用連續曲線近似地刻畫或比擬平麵上離散點組函數關係的一種數據處理方法。傳統的曲線擬合方法是用解析表達式逼近離散數據。目前，常用的曲線擬合方法有最小二乘法、遺傳算法、契比雪夫法及插值法等，這使傳統的方法得到了發展和改進：文獻[1]對多周期正弦曲線擬合以及正弦曲線的外推存在的問題進行了探討，指出正弦曲線的最小二乘多項式擬合方法的局限性，提出了一種基於傅利葉變換的頻率已知正弦曲線擬合方法。文獻[2]根據最小二乘原理，將樣條小波函數應用於曲線擬合中，提出了一種新型的信號處理方法—樣條小波最小二乘法（SWLS）；文獻[3]在利用BP神經網絡進行曲線擬合時，提出了一種新的快速構建BP神經網絡結構的方法，同時針對在曲線擬合過程中經常出現的一些問題提出了解決方案。
本文介紹曲線擬合法的基本原理，針對樣本點的各種分布情況，采用最小二乘法的方法，選取不同的函數曲線進行擬合。
1.曲線擬合的最小二乘法
曲線擬合問題是指：通過觀察和測量得到一組離散數據序列（xi，yi），i=1，2，3···m，當所得到數據是比較準確時，那麼，構造擬合函數ψ（x）逼近客觀存在的函數y，使得ψ（x）和y的誤差或距離最小。
常用曲線擬合標準有以下三種：
①各點誤差絕對值（1範數）的和最小，即：
R1=min∑mi=1ψ（xi）-yi
②各點誤差模的最大值（∞範數）最小，即：
R∞=min（max1≤i≤mψ（xi）-yi）
③各點誤差的平方和最小，即：
R=min∑mi=1[ψ（xi）-yi]2
數據擬合的最小二乘法問題是：根據給定的數據組（xi，yi），i=1，2，3···m，選取近似函數形式，即給定函數類H，求函數ψ（x）∈H，使得
∑ni=1[ψ（xi）-yi]2=minφ∈H∑mi=1[φ（xi）-yi]2
這種求近似函數的方法稱為數據擬合的最小二乘法，函數ψ（x）稱為這組數據的最小二乘函數[4]。
2.曲線擬合
2.1線性擬合
對給定的數據組（xi，yi），i=1，2，3···m，求一條直線：p（x）=a+bx，按最小二乘法的求作方法，擬合直線與定標曲線相應點輸出量偏差的平方和為最小。有多元函數的極值原理，minQ（a，b）的極小值要滿足：
Q（a，b）a=2∑mi=1（a+bxi-yi）·1=0Q（a，b）b=2∑mi=1（a+bxi-yi）·xi=0
整理得到滿足最小均方差的正則方程，用消元法或者克萊姆方法解出方程，得方程（1）：