一個大於1的整數，如果除了它本身和1以外，不能被其他正整數所整除，這個整數就叫做質數。質數也叫素數，如2、3、5、7、11等都是質數。
如何從正整數中把質數挑出來呢？自然數中有多少質數？人們還不清楚，因為它的規律很難尋找。它像一個頑皮的孩子一樣，東躲西藏，和數學捉迷藏。
古希臘數學家、亞曆山大圖書館館長埃拉托塞尼提出了一種尋找質數的方法：先寫出1到任意一個你所希望達到的數為止的全部自然數。然後把從4開始的所有偶數畫掉；再把能被3整除的數（3除外）畫掉；接著把能被5整除的數（5除外）畫掉……這樣一直畫下去，最後剩下的數，除1以外全部都是質數。如找1~30之間的質數：
12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
後人把這種尋找質數的方法叫埃拉托塞尼篩法。它可以像從沙子裏篩石頭那樣，把質數選出來，質數表就是根據這個篩選原則編製出來的。
數學家並不滿足用篩法去尋找質數，因為用篩法求質數帶有一定的盲目性，你不能預先知道要“篩”出什麼質數來。數學家渴望找到的是質數的規律，以便更好的掌握質數。
從質數表中可以看到質數分布的大致情況：
1到1000之間有168個質數；
1000到2000之間有135個質數；
2000到3000之間有127個質數；
3000到4000之間有120個質數；
4000到5000之間有119個質數；
隨著自然數的變大，質數的分布越來越稀疏。
質數把自己打扮一番，混在自然數裏，使人很難從外表看出它有什麼特征。比如101、401、601、701都是質數，但是301和901卻不是質數。又比如，11是質數，但111、11111以及由11個1、13個1、17個1排列成的數都不是質數，而由19個1、23個1、317個1排列成的數卻都是質數。
有人做過這樣的驗算：
12+1+41=43，
22+2+41=47，
32+3+41=53，
………………
392+39+41=1601。
從43到1601連續39個這樣得到的數都是質數，但是再往下算就不再是質數了。
402+40+41=1681，
1681是一個合數。
被稱為“17世紀最偉大的法國數學家”費馬，對質數做過長期的研究。他曾提出過一個猜想：當n是非負數時，形如f（n）=22n+1的數一定是質數。後來，人們把22n+1形式的數叫“費馬數”。
費馬提出這個猜想當然不是無根據的。他驗算了5個費馬數：
f(0)=220+1=2+1=3
f(1)=221+1=4+1=5
f(2)=222+1=16+1=17
f(3)=223+1=256+1=257
f(4)=224+1=65536+1=65537