0、1、2、3、……，這些人人熟悉而又簡單的自然數，有著許多奇妙有趣的性質。
右圖（圖片P134）中是一個小正方形，由此開始，第一層虛線標出了三個小正方形，第二層虛線標出了五個小正方形……，它說明了下麵一些有趣的事實：
1=1-12
1=3=4=22
1+3+5=9=33
……
1+3+5+7+9+11+13+15=64=82一般地，如果n是一個自然數，則：1+3+5+……+（2n-1）=n2。
對於所有的自然數，下麵的式子也是正確的：
13=12，13+23=1+8=9=（1+2）2
13+23+33=1+8+27=（1+2+3）2
13+23+33+43=1+8+27+64=（1+2+3+4）2
……
13+23+33……+n3=1+8+27+……+n3=（1+2+3+……+n）2
再來看6174這個數。把它的各位數從大到小寫一遍，再從小到大寫一遍，然後相減：7641-1467=6174。結果竟與原數6174一樣。有趣的是，如果隨便取一個四拉數，隻要它的四個數字不完全相同，按上述方法對它處理，並重複多次，最終都將得到6174這個數。比如0923：
9320－0239=9081，
9810－0189=9621，
9621－1269=8352，
8532－2358=6174。
對隨便一個六位數按上述方法計算，會得到三種結果：（1）631764的重複；（2）549945的重複；（3）下列七個數的循環：840852，860832，862632，642654，420876，851742，750843。
對八位數也有類似的結果，最後都歸於63317664；對十位數來說，最後都歸於6333176664，從四位數到十位數，用上述方法處理的結果，都與6174這個數有關。
1930年，意大利的杜西教授作了如下觀察：
在一個圓周上放上任意四個數例如：8，43，17，29，讓兩個相鄰的數相減，並且總是大的減小的，如此下去，在有限步之內必然會出現四個相等的數。科學家還證明，如果四個數中最大的是n，則在重複4n－1步時，四個差數將相同。
三位數也有奇妙的性質。
任取一個三位數，將各位數字倒看排出來成為一個新的數，加到原數上，反複這樣做，對於大多數自然數，很快就會得到一個從左到右讀與從右到左讀完全一樣的數。比如從195開始：
195+591=786
786+687=1473
1473+7341=5214
5214+4125=9339
隻用四步就得到了上述結果。這種結果稱為回文數，也稱對稱數。但是，也有通過這個辦法似乎永遠也變不成回文數的數，其中最小的數是196，它在被試驗到5萬步，達到21000位時，仍沒有得到回文數。在前10萬個自然數中，有5996個數像196這樣似乎永遠不能產生回文數，但至今沒有人能證實或否定這一猜測。於是196問題，成了世界性的難題。
專門研究數的各種性質的數學分支，叫做數論，其中有許多既有趣又有困難的問題，科學家們正努力加以解決。