64.影子部隊
數學大軍中有一支勁旅，稱做“影子部隊”。它就是“三角函數”，因為它離不開角度，它總是跟隨著角度，像它的影子一樣。
這天，影子部隊隨著角度觀光了三角形博覽會。角度是這裏的常客，它也很自負，它說：“任何ABC，三個內角和為180°。”說完沒有人理它，它又說：“ABC若是直角三角形，那麼Rt∠C=∠A+∠B。”這時影子部隊答了話：“凡是有你的地方，就有我存在。至於ABC若滿足下列條件：
sinC=sinA+sinBcosA+cosB
則ABC一定是直角三角形。不信，你可以試試。”
證明；先設ABC為任意三角形，有A+B+C=180°
所以右式=2sinA+B2·cosA-B22cosA+B2·cosA-B2
=sin180°-C2cos180°-C2=cosC2sinC2
左式：=2sinC2·cosC2
所以2sinC2·cosC2=cosC2sinC2
因為cosC2≠0
所以2sin2C2=1
sinC2=22
所以C2=45°即C=90°
所以ABC為直角三角形。
65.巷中行
有一個小巷，本來就不寬，充其量隻有5米，卻遇上修理房屋。巷內架起了兩個梯子，一個梯子長8米，另一個梯子長7米。架起來後，行人走到那裏就皺起了眉頭。請你計算一下，這樣架著梯子，人在巷中行走，有妨礙沒有？
解答：設巷寬DB=5米，兩個梯子AB=8米，CD=7米。
令EF=x，
FB=x
因為EFBC=DFDB，
BC=CD2-DB2，
DF=DB-y
所以x72-52=5-y5
所以同理：
EFAD=FBDB
AD=AB2-DB2
所以x82-52=y5
由①、②式，求得：
5-y5·72-52=y582-52
106-26y=39y
y=10626+39=24.512.2=2(米)
又：
x82-52=y5
x=395y
x=6.255×2=2.5(米)
由此可見，兩梯子交叉點離地麵約有2.5米高，因此並不影響行人通過。
66.鬆鼠媽媽采鬆子
鬆鼠媽媽采鬆子，晴天每天可以采20個，雨天每天隻能采12個。它一連幾天采了112個鬆子，平均每天采14個。請問，這幾天當中有幾天有雨？
解法（1）鬆鼠媽媽采112個鬆子共用了
112÷14=8(天)
如果8天都是晴天，就能采到鬆子
20×8=160(個)
一個雨天比一個晴天少采鬆子
20-12=8(個)
現在共少采了
160-112=48(個)
因此雨天有48÷8=6(天)。
解法(2)
鬆鼠媽媽共用了8天采鬆子，如果8天都是雨天，隻能采鬆子
12×8=96(個)
一個晴天比一個雨天要多采鬆子
20-12=8(個)
現在共采了
112-96=16(個)
因此，晴天有16÷8=2(天)，也就是6天有雨。
67.龐貝古城
龐貝是意大利的古城，它位於維蘇威火山東南麓。它全盛時期到火山爆發把它湮沒，正好是橫跨公元前後相同的年數。原來人們都不知道有這麼一個古城，在挖掘的那年，才發現龐貝已被火山爆發湮沒了1669年，而挖掘的工作一直延續了212年，到挖掘結束後，證實與龐貝城最繁華的時期已相距2039年。請問：龐貝城全盛時是哪年？火山爆發把它湮沒又是哪年？挖掘工作又是從哪年到哪年？
解答：設龐貝城全盛時為公元前x年，由於它橫跨公元前後，火山爆發把它湮沒在公元後x年。
設挖掘工作從公元y年到z年，則
y-x=1669①
z+x=2039②
z-y=212③
由①+②，得
y+z=3708④
由③、④聯立，得z=1960
由此，y=1748
x=79
所以，龐貝城全盛時為公元前79年，火山爆發把它湮沒在公元後79年，挖掘工作從公元1748年一直延續到1960年。
23x=2500
x=3750