一個由36個小方格組成的正方形，如圖所示，放著4個黑子和4個白子。現在要把它分割成形狀大小都相同的4塊，並使每一塊裏都有一個黑子和一個白子，應怎樣分割？
分析：要將圖形分成大小相同的四塊，可先將圖形一分為四，如圖(A)
圖（A）但這樣左上角一塊中就出現了兩個白子，為此必須將它們割開。但問題要求4塊形狀大小都要一樣，因此隻要一塊割開，其他3塊都要做同樣的割開，如圖(B)。然後再將原來的分割線去掉一部分。如果去掉近中心的1／3，則黑子就會連成一片；如果去掉中間的1／3，又會有兩個白子連在一起。因此隻可去掉靠邊上的1／3，如圖（C)。
圖（B）圖（C）現在隻需要把左邊兩個白子分開。顯然，隻要將4條短的分割線延長到邊，就能達到目的，如圖(D)。到此，圖中的6條分割線都不能再延長，隻能沿折線分割，成為符合要求的圖(E)。
62.節能灶
便民小吃店準備改進爐灶，知道煤廠生產有兩種蜂窩煤。大蜂窩煤的直徑是小蜂窩煤直徑的2倍，3個大蜂窩煤壘起的高度與4個小蜂窩煤壘起的高度相等。
假如砌的爐灶采用3塊大蜂窩煤，那麼相當於多少塊小蜂窩煤的熱值？如果按同樣熱值的那麼多小蜂窩煤砌成爐灶，哪個灶更節省？
解答：假設大蜂窩煤半徑為R，高度為b，小蜂窩煤半徑為r，高度為a，則：
R=2r，3b=4a
大蜂窩煤的體積為πR2·b，小蜂窩煤的體積為πr2·a。
所以πR2·b=π(2r)·34·a
圖D（D）圖（E）=163·πr2·a
即3πR2·b=16πr2·a
由此可知，3個大蜂窩煤的體積等於16個小蜂窩煤的體積，3∶16也是它們重量的關係。
由於熱值與其質量成正比，相同質量的蜂窩煤應該產生相同的熱值，所以要砌放3塊大蜂窩煤的爐灶，也可以砌成能放16塊小蜂窩煤的爐灶，如同圖上所示的兩種爐膛內的蜂窩煤全部燃燒(令中間小孔不計)，其燃燒麵積應該是上端麵的麵積加上側麵的麵積之和，於是，對於16塊小蜂窩煤，燃燒表麵積之和為：
SA=4×4×(πr2+2πra)
=16πr2+32πra
3塊大蜂窩煤，其燃燒表麵積為：
SB=3×(πR2+2πR·b)
=3πR2+6πRb
因為R=2r，b=34a
所以SB=3π(2r)2+6π(2r)43a
=12πr2+16πr2a
所以SA＞SB
由此，小蜂窩煤燃燒麵積大，燒得快，不節省煤，而大蜂窩煤燃燒麵積適中，燒得慢，省煤。
63.青蛙的對稱跳
1985年，第三屆五四青年智力競賽中有這樣一道題：
地麵上有A、B、C3點，一隻青蛙位於地麵上距離C點為0.27米的P點，青蛙第一步從P跳到關於A的對稱點P1，我們把這個動作說成是青蛙從P點關於A點作“對稱跳”；第二步從P1出發對B點做對稱跳到P2；第三步從P2點出發對C點做對稱跳到達P3；第四步從P3再對A做對稱跳到達P4……，按這種方式一直跳下去。若青蛙第1985步對稱跳之後到達P1985，問此點與出發點P的距離為多少厘米？
要在短時間內把1985步對稱跳都做出來是困難的，這裏麵一定隱含著某種規律。
設想我們在地麵上建立了一個直角坐標係，使出發點P正好是坐標原點，並設A(a1，a2)B(b1，b2)，C(c1，c2)。
根據對稱跳的定義，P和P1關於A點對稱。由於P(0，0)，則點P1的坐標為(2a1，2b1)。設P2(x2，y2)，由於B是P1與P2的中點，則x2=2b1-2a1，y2=2b2-2a2。實際上，我們隻須關心點的第一個坐標。
設Pi(xi，yi)，i=1，2，3，4，5，6，我們又有
x3=2c1-x2=2(c1-b1+a1)，
x4=2a1-x3=2(b1-c1），
x5=2b1-x4=2c1，
x6=2c1-x5=0。
類似地可知y6=0，這表明P6=P，也就是說，經過關於A，B，C的6次對稱跳之後，青蛙又回後到了原出發點，這又可以說成：這樣的對稱以6為周期。由於1985=6×330+5，所以經過1985步對稱跳，實際上相當於隻做了5次對稱跳，或者說隻差一步就跳回到原點，它與P是關於點C對稱的兩點，因此。
P1985與P的距離=P5與P的距離
=2×(P與C的距離)=2×0.27米
=0.54米=54厘米。