6.“盈不足術”
如果有人出這樣一道題：4個人合買一件12元的禮物。問每人應出多少錢？你會毫不費力地回答：每人應出3元。從代數的角度來看，這隻不過是解方程4x＝12而已，非常簡單。但令人驚奇的是，象px－q＝0這種簡單的一次方程問題，在古代卻要大費周折，用相當麻煩的辦法來解決。
在中世紀的歐洲，為了解px－q＝0這種類型的問題，有時要用到所謂“雙設法”，即通過兩次假設以求未知數的方法。這種方法的大意是：設a1和a2是x值的兩個猜測數，b1和b2是誤差，這時有：
a1p－q＝b1，(1)
a2p－q＝b2，(2)
(1)－(2)得p(a1－a2)＝b1－b2，p＝b1－b2a1－a2。
(1)×a2－(2)×a1，得－q(a2－a1)＝a2b1－a1b2，
即，q＝a2b1－a1b2a1－a2。
因此，x＝qp＝a2b1－a1b2b1－b2，
於是就求出了x的值。在代數學的符號係統發展起來之前，“雙設法”是中世紀歐洲解決算術問題的一種主要方法，並得到廣泛的應用。十三世紀著名的意大利數學家斐波那契，最早介紹了這種方法，並把它叫做“阿爾-契丹耶（elchataym）”，這顯然是阿拉伯語的音譯。因為在11～13世紀，這種方法就引起了阿拉伯數學家的重視，並稱之為“契丹算法”。另一方麵，我們知道當時阿拉伯人所說的“契丹”，實際上就指的是中國。“契丹算法”就是“中國算法”。由此看來，“雙設法”追本溯源應該來自中國，來自中國古代的“盈不足術”。正是我國早已有之的“盈不足術”很可能經由阿拉伯傳入歐洲，在歐洲數學發展中起了重要的作用。
“盈不足”又稱“盈朒（róu），是我國古代解決“盈虧類”問題的一種算術方法，“盈”就是“多”，“不足”就是“少”。我國古代數學名著《九章算術》裏有一章就叫做“盈不足”，其中第一個問題是：“今有共買物，人出8，盈3；人出7，不足4。問人數、物價各幾何？”這道題的題意是：現在有幾個人合起來買東西。如果每人出8元，則多3元；如果每人出7元，則少4元。問人數和物價各是多少？《九章算術》給出了這個問題的一般解法，我們用現在的代數式來表示：設每人出a1，盈（或不足）b1；每人出a2，盈（或不足）b2。其中，在盈的情況下，b1，b2＞0，不足時，b1，b2＜0。於是，人數p或物價q可由下列公式計算出來：
p＝b1－b2a1－a2q＝a2b1－a1b2a1－a2。
在上述問題中，由這兩個公式可得人數p＝7（人），物價q＝53（元）。
“盈不足術”是中國古代數學的一項傑出成就。用“盈不足”算法，不僅能解決盈虧類問題，而且還能解決一些較複雜的問題。例如，設好地一畝產糧300斤，次地七畝產糧500斤；現在有一頃地共產糧1萬斤；問好地和次地各有多少畝？這道題雖然沒有給出“盈”和“不足”的數值，但可以假定有好地20畝，次地80畝，於是，可算出這種情況應多產糧171427斤。如果假定有好地10畝，次地90畝，則應少產糧57137。因此，根據上述公式即可算出好的有12畝半，次地有87畝半。
當然，應用我們學到的一次方程或二次方程等代數知識，很容易解決日常遇到的算術難題，不必多此一舉地再用“盈不足術”了。但在高等數學範圍內，有時還要用盈不足術推求高次數字方程或函數實根的近似值。
7.牛頓問題
牛頓是17世紀英國最著名的數學家。他不僅勇於探索高深的數學理論，也很重視數學的普及教育，曾專門為中學生編寫過一套數學課本。牛頓認為：“學習科學時，題目比規則還有用些。”所以在書中編排了許多複雜而又有趣的數學題，用來鍛煉學生的數學思維能力。下麵這個題目就是書中一道著名的習題。
“有3塊草地，麵積分別是313頃、10頃和24頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。如果第一塊草地可以供12頭牛吃4個星期，第二塊草地可以供21頭牛吃9個星期，那麼，第三塊草地恰好可以供多少牛吃18個星期？”
這個題目的確複雜而又有趣。因為在幾個月的時間裏，被牛吃過的草地還會長出新的青草來，而這青草的生長量，又因時間的長短、麵積的大小而各不相同！
牛頓潛心研究過這個題目，發現好幾種不同的解法。他認為，下麵這種比例解法最為有趣。
首先，假設草地上的青草被牛吃過以後不再生長。因為“313頃草地可以供12頭牛吃4個星期”，按照這個比例，10頃草地就可以供8頭牛吃18個星期，或者說可以供16頭牛吃9個星期。
由於實際上青草被牛吃過以後還會生長，所以題中說：“10頃草地可以供四頭牛吃9個星期。”把這兩個結論比較一下就會發現，同樣是10頃草地，同樣是9個星期，卻可以多養活21－16＝5頭牛。