數學教學的趣味奧秘設計數學教師的趣味教學設計與創新1.“農婦賣蛋”
“農婦賣蛋”是一個經典問題。
這個問題說的是：一農婦去市場賣雞蛋，第一次賣去全部雞蛋的一半又半個；第二次又賣去剩下雞蛋的一半又半個；第三次賣去前兩次賣後所剩下雞蛋的一半又半個，最後又賣去所剩下雞蛋的一半又半這時雞蛋恰好賣完，問農婦原有多少雞蛋？
許多數學家愛好者對這個問題十分感興趣，並給出了許多解答方法，但多數方法較為繁瑣。瑞士著名的數學家歐拉對這個問題給出了一個別具一格的解法：設第三次賣完後所剩(第四次賣去)的雞蛋為1+0.5，第三次賣去的雞蛋為(1+0.5)×2＝3，第二次賣完後所剩雞蛋數應為：(3+0.5)×2=7(個)，因此，農婦原有雞蛋數為：(7+0.5)×2=15(個)
我們從歐拉對上述問題得到啟發：有些數學問題，如果按正向思維去考慮問題，有時難以入手或根本無法獲解，但若能根據問題提供的條件，進行逆向思維去考慮，則有獲解的希望。歐拉解農婦賣蛋問題正是這種逆向思維方式的具體體現。
2.擺滿棋盤的麥粒
在印度，有一個古老的傳說：“當時舍罕王打算重賞國際象棋的發明人——宰相西薩·班·達依爾。宰相請舍罕王在棋盤的第一個小格內賞給他一粒麥子，在第二個格子內賞給他2粒麥子，第一個格賞給他22=4粒麥子……照此下去，每一格內的麥子都比前一小格的加一倍。舍罕王認為這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒也不過一小袋，就答應了宰相的要求。可是當宮廷數學家計算了這個數目之後，才發現整個國家倉庫裏的所有麥子全部給宰相還相差很多，甚至在全世界的土地上也不可能收獲這麼多的麥子。
這是怎麼回事呢？這是一個等比數列(也稱幾何級數)求前64項和的問題。
根據等比數列求前幾項和的公式：
Sn=a1(qn-1)q-1，(其中a1是等比數列｛an｝的第一項，q是公比，n為項數)而在該題中，a1=1，q=2，n=64，則：
S64=1×(264-1)2-1=264-1=18446744073709551615
這個數字是非常大的。可見，古印度在當時就有了幾何級數的思想。
在中國兩千多年前的《易經》、《九章算術》等著作中，都包含了等比數列的內容。
3.摸球的奧秘
在一些地方常有人經營這樣的“遊戲”，經營人手持一個布口袋。口袋裏有20個同樣大的玻璃球，其中10個藍球，10個紅球，由你任意摸10個，當你摸出的球兩種顏色的比為：
10∶0贏300元
9∶1，贏100元
8∶2，贏30元
7∶3，贏2元
6∶4，輸10元
5∶5，贏1元
初看，似乎摸球人很占便宜，可以贏5種比值，而經營者隻贏1種，摸球的人贏的數額又分別為300元、100元、30元和1元。其實不然，摸球人一般會遇到失敗。是否其中有詐？通過仔細觀察，發現布袋裏的玻璃球並無異樣。經營者甚至會讓摸球人自己拿著布袋子摸，結果往往又遭失敗。
這裏的奧秘在哪裏呢？
我們知道，在自然和社會現象中，有這樣一類事件，它在相同條件下由於偶然因素的影響可能發生，也可能不發生，這類事件叫隨機事件。對一個隨機事件做大量實驗時發現，隨機事件發生的次數與試驗次數的比總是在一個固定數值附近擺動，這個固定數值就叫隨機事件發生的概率，概率的大小反映了隨機事件發生的可能性的大小。例如：做大量拋硬幣的試驗中，正麵向上和反麵向上的次數大致相等，各占總次數的12左右。12就是硬幣正麵向上(和反麵向上)這一事件的概率。
在上述摸球的“遊戲”中，擺攤人所列出的幾種比所產生的概率是不同的，分別為：
10∶09∶18∶27∶36∶45∶5192378100923782025923781440092378441009237831752923780.001%0.11%2.19%15.59%47.7%34.7%
由上表可以看出，6∶4發生的可能性最大，10∶0出現的可能性最小。他把最小的讓給摸球人，價格定得很高，自己挑了個概率最大的，定了中價，5∶5的概率排在第二位。為了避免摸球人總是失敗，經營者把這個讓給摸球人，但價格定的最低，對摸球人贏的幾種情況，概率越小，定價越高。