阿基米德來到亞曆山大，很幸運地成了歐幾裏得的弟子埃拉托色尼和卡諾恩的學生，向他們學習數學、天文學和力學。歐幾裏得大約是在公元前275年逝世的，他的學生和學生的學生一代代繼續他的事業，並不斷完善和發展。
很快，阿基米德在幾何學的海洋中遨遊自如了。他整天都在畫各種各樣的幾何圖形，研究它們之間的聯係、區別，找出帶有規律性的東西。有時睡覺醒來，就用手指頭在肚皮上畫，他入迷了。
學習很緊張，每天都要看很多書，做深奧的演算。阿基米德和埃拉托色尼疲倦時，偶爾也出去玩一玩。有時他們到大劇院去，聽聽音樂，欣賞一出喜劇；有時到健身房，活動一下四肢。天氣晴朗，風和日麗，他們則興致勃勃地去瀏覽尼羅河風光。乘著木船順流而下，溫柔的風吹開了他們的衣襟，清新的空氣驅散了他們的疲勞，兩岸茂密的樹木、肥沃的農田盡收眼底。
這樣的旅行對阿基米德來說不很多，但在這為數不多的遊玩中，他十分留心觀察生活中的現象，從而生發出許多聯想。
埃及人一直用尼羅河水灌溉農田，但是河床低，農田地勢高，農夫隻能用水桶拎水澆地，又吃力又費功夫。
阿基米德想，有什麼好辦法代替這種笨體力活呢？想呀想，畫出了一張水車的草圖。
“請您按照這個樣子做吧。”他對木匠說。
木匠左看右看，看不懂，自言自語地說：“這算什麼玩藝呢？”
阿基米德隻好比比劃劃，耐心地講給他聽：“口努，這是圓筒，這是螺杆，唔，就是這樣……”
木匠隻好接下了活兒。幾天後，他居然做出來了，阿基米德眯著眼睛看了看，又搖搖手柄，說：“嗯，還行。”
於是，阿基米德就扛起這個怪玩藝兒，一直走到莊稼地裏。
他把螺杆的一頭放到河水裏，安了手柄的那頭放在河岸上。輕輕朝一個方向搖動手柄，哈，隻見河水“咕嚕嚕”地從“怪物”的頂端冒出來，連續不斷地搖，水就連續不斷地流到田地裏。
一個顯然不可能的奇跡發生了：水往高處流！
農夫們放下水桶，爭著來看阿基米德的新發明，既省力又省時間，大大減輕了勞動強度。
大夥兒當然喜歡。這一來，一傳十，十傳百，螺旋抽水機很快從埃及傳到外國。人們不僅用它來提水灌溉土地，還用來排積水，揚穀粒，揚沙子。以後這個機械就被稱作為“阿基米德螺旋提水器”。直到今天，有的地方還在使用它。
至於飛機、大船的螺旋槳，甚至連小小的螺絲釘，那都是阿基米德螺杆的後代。
阿基米德的研究並不是憑空想出來的，他總是從生產和生活的實踐中發現研究的課題，然後用數學、力學的方法加以抽象的概括，上升到理論，然後再用新的理論去解釋自然現象，指導創造發明，因此，阿基米德在許多方麵都取得巨大的成就。
比如，當時人們在生活和生產實踐中常常和圓形的東西打交道，需要解決計算圓、圓柱、球體等幾何圖形的麵積和體積，這在建築、造船、丈量土地、製造生活用品時都是經常遇到的。古希臘時代，人們總結出直徑為一、周長為三的求圓周的方法，但很不精確。阿基米德經過研究，計算出圓周率是3.1409至3.1429之間，這和我們今天知道的π≈3.1415926是相當近似的。阿基米德為圓周率π擬定的數據，也被稱為“阿基米德數”，當時，它給人們帶來很大的便利。
阿基米德還是微積分的奠基人。他在計算球體、圓柱體和更複雜的立體的體積時，運用逐步近似而求極限的方法，從而奠定了現代微積分計算的基礎。今天的大學理工科學生，都需要學習阿基米德開創的微積分。
最有趣的是阿基米德關於體積的發現：一個圓柱體中正好嵌進一個球體（圓柱體的高度和直徑相等，恰好嵌入的球體就叫做圓柱體的內接球體）。這兩件普通的幾何模型，充分地洋溢著阿基米德的聰明和才智。
他把水倒進圓柱體，又把內接球放進去；再把球取出來，量量剩餘的水有多少；然後往圓柱體裏倒滿水，量量圓柱體到底能裝多少水。這樣反複倒來倒去的測試，他發現了這個內接球的體積，恰好等於外包的圓柱體的容量的三分之二。
阿基米德得出一個結論，圓柱體和它內接球體的比例，或兩者的相互關係，是3∶2。
他寫了許多論述球體和圓柱體的著作，研究各種立體的表麵積和體積，以及它們相互間的關係。而在圓柱體、圓錐體、金字塔形、球體、立體和平麵等等幾何形狀中，他最偏愛的是圓柱體和它內接圓的特殊關係。他為這個不平凡的發現而自豪，他囑咐後人，將一個有內接球體的圓柱體圖案，刻在他的墓碑上作為墓誌銘。