下麵再經過八步，就又出現８９，從而產生了循環：
17.千古之謎
現代數論的創始人、法國大數學家費爾馬（１６０１—１６６５），對不定方程極感興趣，他在丟番圖的《算術》這本書上寫了不少注記。在第二卷問題８“給出一個平方數，把它表示為兩個平方數的和”的那一頁的空白處，他寫道：“另一方麵，一個立方不可能寫成兩個立方的和，一個四方不可能寫成兩個四方的和。一般地，每個大於２的冪不可能寫成兩個同次冪的和。”
換句話說，在ｎ＞２時，
ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ（１)
沒有正整數。這就是舉世聞名的費爾馬大定理。
“關於這個命題”，費爾馬說：“我有一個奇妙的證明，但這裏的空白太小了，寫不下。”
人們始終未能找到弗爾馬的“證明”。很多數學家攻克這座城堡，至今未能攻克。所以，費爾馬大定理實際上是費爾馬大猜測。人們在費爾馬的書信與手稿中，隻找到了關於方程
ｘ４＋ｙ４＝ｚ４（２）
無正整數解的證明，恐怕他真正證明的“大定理”也就是這ｎ＝４的特殊情況。
既然（２）無正整數解，那麼方程
ｘ４ｋ＋ｙ４ｋ＝ｚ４ｋ（３）
無解（如果（３）有解，即有正整數ｘ０，ｙ０，ｚ０使
ｘ０４ｋ＋ｙ０４ｋ＝ｚ０４ｋ（３)
那麼（ｘ０ｋ）４＋（ｙ０ｋ）４＝（ｚ０ｋ）４
這與（２）無解矛盾！
同理，我們隻要證明對於奇素數Ｐ，不定方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ（４）
無正整數解，那麼費爾馬大定理成立（因為每個整數ｎ＞２，或者被４整除，或者有一個奇素數ｐ是它的因數）。
（４）的證明十分困難。在費爾馬逝世以後９０多年，歐拉邁出了第一步。他在１７５３年８月４日給哥德巴赫的信中宣稱他證明了在ｐ＝３時，（４）無解。但他發現對ｐ＝３的證明與對ｎ＝４的證時截然不同。他認為一般的證明（即證明（４）對所有的素數ｐ無正整數解）是十分遙遠的。
一位化名勒布朗的女數學家索菲·吉爾曼（１７７６—１８３１）為解費爾馬大定理邁出了第二步。她的定理是：
“如果不定方程
ｘ５＋ｙ５＝ｚ５
有解，那麼５｜ｘｙｚ。”
人們習慣把方程（４）的討論分成兩種情況。即：如果方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ
無滿足ｐ｜ｘｙｚ的解，就說對於ｐ，第一種情況的費爾馬大定理成立。
如果方程
ｘｐ＋ｙｐ＝ｚｐ
無滿足ｐ｜ｘｙｚ的解，就說對於ｐ，第二種情況的費爾馬大定理成立。
因此，吉爾曼證明了ｐ＝５，第一種情況的費爾馬大定理成立。她還證明了：如果ｐ與２ｐ＋１都是奇素數，那麼第一種情況的費爾馬大定理成立。她還進一步證明了對於≤１００的奇素數ｐ，第一種情況的費爾馬大定理成立。
在歐拉解決ｐ＝３以後的９０餘年裏，盡管許多數學家企圖證明費爾馬大定理，但成績甚微。除吉爾曼的結果外，隻解決了ｐ＝５與ｐ＝７的情況。
攻克ｐ＝５的榮譽由兩位數學家分享，一位是剛滿２０歲、初出茅廬的狄利克雷，另一位是年逾７０已享盛名的勒仕德。他們分別在１８２５年９月和１１月完成了這個證明。