ｐ＝７是法國數學家拉梅在１８３９年證明的。
這樣對每個奇素數ｐ逐一進行處理，難度越來越大，而且不能對所有的ｐ解決費爾馬大定理。有沒有一種方法可以對所有的ｐ或者至少對一批ｐ，證明費爾馬大定理成立呢？德國數學家庫麥爾創立了一種新方法，用新的深刻的觀點來看費爾馬大定理，給一般情況的解決帶來了希望。
庫麥爾利用理想理論，證明了對於ｐ＜１００費爾馬大定理成立。巴黎科學院為了表彰他的功績，在１８５７年給他獎金３０００法郎。
庫麥爾發現伯努列數與費爾馬大定理有重要聯係，他引進了正規素數的概念：如果素數ｐ不整除Ｂ２，Ｂ４……，Ｂｐ－３的分母，ｐ就稱為正規素數，如果ｐ整除Ｂ２，Ｂ４……，Ｂｐ－３中某一個的分母就稱為非正規素數。例如５是正規數，因為Ｂ２的分母是６而５６。７也是正規素數，因為Ｂ２的分母是６，Ｂ４的分母是３０，而７６，７３０。
１８５０年，庫麥爾證明了費爾馬大定理對正規素數成立，這一下子證明了對一大批素數ｐ，費爾馬大定理成立。他發現在１００以內隻有３７、５９、６７是非正規素數，在對這三個數進行特別處理後，他證明了對於ｐ＜１００，費爾馬大定理成立。
正規素數到底有多少？庫麥爾猜測有無限個，但這一猜測一直未能證明。有趣的是，１９５３年，卡利茨證明了非正規素數的個數是無限的。
近年來，對費爾馬大定理的研究取得了重大進展。１９８３年，西德的伐爾廷斯證明了“代數數域Ｋ上的（非退化的）曲線Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，在出格ｇ＞１時，至多有有限多個Ｋ點。”
作為它的特殊情況，有理數域Ｑ上的曲線
ｘｎ＋ｙｎ－１＝０（５）
在虧格ｇ＞１時，至多有有限多個有理點。
這裏虧格ｇ是一個幾何量，對於曲線（５），ｇ可用
g=（n-1）(n-2)2
來計算，由（６）可知在ｎ＞３時，（５）的虧格大於１，因而至多有有限多個有理點（ｘ，ｙ）滿足（５）。
方程
ｘｎ＋ｙｎ＝２ｎ
可以化成
x2n+y4n-1=0
改記x2,y2為（ｘ，ｙ），則（７）就變成（５）。因此由（５）隻有有限多個有理數解ｘ、ｙ，立即得出（１）隻有有限多個正整數解ｘ、ｙ、ｚ，但這裏把ｘ、ｙ、ｚ與ｋｘ、ｋｙ、ｋｚ（ｋ為正整數）算作同一組解。
因此，即使費爾馬大定理對某個ｎ不成立，方程（７）有正整數解，但解也至多有有限組。
１９８４年，艾德勒曼與希思布朗證明了第一種情況的費爾馬大定理對無限多個ｐ成立。他們的工作利用了福夫雷的一個重要結果：有無窮多個對素數ｐ與ｑ，滿足ｑ｜ｐ－１及ｑ＞ｐ２／３個。而福夫雷的結果又建立在對克路斯特曼的一個新的估計上，後者引起了不少數論問題的突破。
現在還不能肯定費爾馬大定理一定正確，盡管經過幾個世紀的努力。瓦格斯塔夫在１９７７年證明了對於ｐ＜１２５０００，大定理成立。最近，羅寒進一步證明了對於ｐ＜４１００萬，大定理成立。但是，費爾馬大定理仍然是個猜測。如果誰能舉出一個反例，大定理就被推翻了。不過反例是很難舉的。