第二章6
50默比烏斯帶的奧秘
默比烏斯帶是拓撲學家們的傑作之一。它使人感到古怪的是：隻有一側的曲麵。
它的製做是極為簡單的。我們把一個雙側環帶隨意在一處剪開，然後，扭轉一半，即180°。再粘合到一起來形成封閉的環，就得到了默比烏斯帶。
但如果描述為沒有“另一側”，這是很難理解和想象的。但做起來卻很容易，你可隨意從一處開始塗色(不離開這麵)最終你將會發現默比烏斯帶都被你塗上了顏色，也就說明這的確是一個單側麵的帶子。
默比烏斯帶具有各種意想不到的性質，有人稱之為“魔術般的變化”。如果我們把默比烏斯帶沿中線剪開，出乎意料地得到了一條雙側帶子而不是兩條。數學家對這種奇妙的現象解釋為：一條默比烏斯帶隻有一條邊，剪開卻使它增加了第二條邊與另一側。如果把默比烏斯帶沿三等分線剪開將使你又獲新奇之感。剪刀將環繞紙帶子走整整兩圈，但隻是一次連續的剪開，剪的結果是兩條卷繞在一起的紙條，其中的一條是雙側紙圈，另一條則是新的默比烏斯帶。你看，這真是一個奇妙的帶子。
51你能找到海盜藏寶的地點嗎
傳說有一幫海盜，把劫得的財寶埋在一個荒島上，並在一張紙上寫了若幹詩句暗示藏寶地點，這樣以便於把寶物遺留給他們的後代。幾十年後，海盜們被捕獲，在被擊斃的頭目身上發現了這張紙條，上麵寫到：何處找?在海島；絞架直行到石馬，右轉同長是甲處；絞架直行到大樹，左轉同長是乙處；甲乙中分地，深挖勿泄氣。不難看出這是一個埋藏重要物品的地點的說明，官方立即派人到島上搜索，然而一到島上，人們不免犯了難，大樹、石馬依然還在，而絞架蕩然無存，這藏寶地點怎樣確定呢?
後來終於有人用平麵幾何作圖的方法，證明了藏寶地點僅與石馬和大樹的位置有關，而與絞架位置有關，於是輕而易舉地找到了藏寶地點。下麵我們來看一下這個問題的證明。
設石馬為點A，大樹為點B，在AB連線的一側任取一點C算作絞架位置。連結CA，作DA⊥CA且DA＝AC；再連BC，作EB⊥CB且EB⊥CB且；連DE，其中點F假定為藏寶地點，如圖作CC′、DD′、EE′、FF′都和AB垂直，C′D′E′F′分點為垂足，由△ACC′≌DAD′，可知AD′＝CC′，又由△BCC′≌EBF′，可知BE′＝CC′，又由F是DE中點，可知F′是D′E′中點。所以知F′是AB中點；另一方麵我們又可證明，DD′＝AC′，EE′＝BC′，∴DD′＋EE′＝AB。由梯形中位線定理可知FF′＝12(DD′＋EE′)＝12AB，那麼F是位於AB中垂線上且與A中點的距離等於AB長的一半，可見F點的位置與C點的選擇是無關的。
讀者不妨試一下，在AB的另一側取點C。甚至在直線AB上取點C，看看點F的位置是否是不變的。
52最巨大的數學專著
公元前4世紀，古希臘數學家歐幾裏得寫過一部《幾何原本》，共有13卷，它成為不朽的經典著作流傳至今。1939年，書架上突然出現了《數學原本》（第一卷）。好大的口氣！作者是誰？署名是從未聽說過的布爾巴基。這部書從那時起，到1973年，已出到第35卷，至今還沒有寫完。它是目前最巨大的數學專著。
布爾巴基是一個集體的筆名。本世紀20年代末，法國巴黎大學有幾名大學生，立誌要把迄今為止的全部數學，用最新的觀點，重新加以整理。這幾個初出茅廬的青年人，準備用3年的時間，寫出一部《數學原本》，建立起自己的體係。這當然是過高的奢望，結果他們寫了40年，至今還沒有完成，但是布爾巴基學派卻在這一過程中形成了。他們在數學界獨樹一幟，把全部數學看作按不同結構進行演繹的體係，因而以結構主義的思想蜚聲國際，贏得了數學界的讚揚。布爾巴基學派甚至已經影響到中學教科書，我國近幾年翻譯的英、美、日本中學教材裏，都有它的影子。
布爾巴基學派最初的成員有狄多涅和威爾等人，他們開始寫《數學原本》時隻是20來歲的青年，現在已經70開外，成為國際著名的數學教授了。
《數學原本》是一部有嶄新體係的數學專著，而並非東拚西湊的數學百科全書，它以吸收最新數學成果並加以剖析而受到重視。近幾年，《數學原本》的前幾卷已重新修訂，每卷又補充了近三分之一的新材料。這部巨著是用法文寫的，現在已有英、俄、日等國文字的譯本。翻譯《數學原本》是一個巨大的工程，翻譯成日文時，還曾專門成立了一個委員會。
53最繁瑣的幾何作圖題
早在古代，就有人能用直尺和圓規作出正三角形、正方形和正五邊形了。可是，利用尺規來作正七邊形或正十一邊形或正十三邊形的任何嚐試，卻都是以失敗而告終。
這種局麵持續了二千多年，數學家們猜想，凡是邊數為素數的正多邊形（如正七、正十一、正十三邊形等）看來用圓規和直尺是作不出來的。但是在1796年，完全出乎數學界的意料之外，19歲的德國青年數學家高斯找到了用圓規和直尺來作邊數為素數的正十七邊形的方法。這個成就是如此輝煌，不僅使數學界為之轟動，而且也促使高斯把數學選為自己的終身職業。
五年以後，高斯又進一步宣布了能否作任意正多邊形的判據。他證明了下麵的定理：凡是邊數為“費爾馬素數”（即邊數是2+1形狀的數，而且還要是素數）的正多邊形，就一定可以用尺規來作圖。當n=2時，就是正十七邊形；當n＝3時，就是正二百五十七邊形；當n＝4時，就是正六萬五千五百三十七邊形……他還證明了，如果邊數是素數，但不是費爾馬素數的話（例如上麵所提到過的正七邊形，正十一邊形等），那末這樣的正多邊形就不能用圓規和直尺來作出。
緊接在17以後的兩個“費爾馬素數”是257和65537。後來，數學家黎西羅果然給出了正二百五十七邊形的完善作法，寫滿了整整80頁紙。
另一位數學家蓋爾美斯按照高斯的方法，得出了正六萬五千五百三十七邊形的尺規作圖方法，他的手稿裝滿了整整一隻手提皮箱，至今還保存在德國的著名學府哥庭根大學裏。這道幾何作圖題的證明，可說是最為繁瑣的了。
54最精確的圓周率
圓周長與直徑的比，稱為圓周率，符號π，我國古代很早就得出了比較精確的圓周率。我國古籍《隋書·律曆誌》記載，南北朝的科學家祖衝之推算圓周率π的真值在31415926與31415927之間，他所得到的π的近似分數是密率355／113。德國人奧托在1573年才重新得出祖衝之密率355／113，落後了11個世紀。英國數學家向克斯窮畢生精力，把圓周率算到小數點以後707位，曾被傳為佳話，但是他在第528位上產生了一個錯誤，因此後麵的100多位數字是不正確的。
由於電子計算機的問世，圓周率計算的精確性的紀錄一個接一個地被打破。就目前所知，人們已經計算到小數點後麵100萬位，這是由兩位法國女數學工作者吉勞德與波葉算出的。1973年5月24日，她們利用7600CDC型電子計算機完成了這一工作，但直到同年9月才得到證實。所公布的100萬位的圓周率的值是3141592653589793……5779458151，如把這些數字印成一本書，這本書將足有200頁厚，讀者讀這本書時一定會感到這是世界上最沉悶乏味的一本書。
1983年，日本東京大學的兩位學者利用超高速的HITAC電子計算機，把π算到了16777216位，他們打算在不久的將來把計算位數再要翻一番，並最終突破1億位大關。
55國際數學競賽中得獎最多的國家
1959年，羅馬尼亞“物理數學學會”向東歐七國發出邀請，建議在布加勒斯特舉行第一屆國際數學奧林匹克。以後，每年比賽一次，從未間斷。比賽的東道國大都是東歐國家，隻有第十八屆比賽是在奧地利舉行的。
開始幾年，參加者隻是前蘇聯和東歐一些國家。到1967年，英國、法國和瑞典也參加了；從1974年起，美國也開始參加。最近幾屆的參加國已有20個以上，其中亞洲國家有蒙古和越南。
根據曆屆比賽的統計結果，無論從團體總分以及獲得一等獎的人數來看，前蘇聯都名列第一，處於遙遙領先的地位。
前蘇聯從1934年開始就舉辦數學競賽。舉辦數學競賽的地方，不僅有莫斯科、列寧格勒、基輔等大城市，甚至還有一些中小城市。
全蘇數學競賽的試題內容，也是從淺到深，各種程度的題目都有，所用的數學工具雖然簡單，但往往需要過人的機智才能解決。前蘇聯正是從大量數學愛好者中層層“篩選”而培養出尖子的。由於尖子們“身經百戰”，因此在國際比賽中也就得分較多。