第二章5
36數學悖論趣談
悖論是邏輯學的術語，原本是指那些會導致邏輯矛盾的命題或論述。比如大家熟知的《韓非子·難一》中記載的那位賣矛又賣盾的楚國人，聲稱他的矛鋒利無比，什麼樣的盾都能刺穿，而他的盾堅韌異常，什麼樣的矛都刺不穿，人問：“以子之矛，陷子之盾，何如？”楚人無言以對。這裏關於矛和盾的論述就是一個悖論。悖論這個詞在實際使用中，其涵義已被擴大化，常常包括與人的直覺、經驗或客觀事實相違背的種種問題或論述。因此有時也被稱為“佯謬”、“怪論”等。
悖論雖然看似荒誕，但卻在數學哲學史上產生過重要影響。一些著名的悖論曾使高明的哲學家與數學家為之震驚，為之絞盡腦汁，並引發了人們長期艱難而深入的思考。可以說，悖論的研究對促進數學思想的深化發展是立過汗馬功勞的。
世界上有記載的最早的悖論，是公元前五世紀希臘哲學家芝諾提出的關於運動的著名悖論。在我國公元前三世紀的《莊子·天下篇》中，也記載了幾條著名的悖論辨題。這些悖論的提出和解決都與數學有關。在數學史上震撼最大的悖論是英國哲學家羅索於1902年提出的“集合論悖論”，它幾乎動搖了整個數學大廈的基礎，引發了所謂的“第三次數學危機”。這些嚴肅的論題在許多數學方法論著作、數學史書籍以及有關的讀物中都有記載和討論。
本文隻想談點輕鬆的話題。其實，許多數學悖論是饒有趣味的，它不僅可以令你大開眼界，還可以從中享受到無盡的樂趣。麵對形形色色富於思考性、趣味性、迷惑性的問題，你必須作一點智力準備，否則可能就會在這悖論迷宮中轉不出來了。看看下麵的幾個小故事，你就會相信此話不假。
第一個故事發生在一位調查員身上。這位調查員受托去A、B、C三所中學調查學生訂閱《中學生數學》的情況，他很快統計出，A校男生訂閱的比例比女生訂閱的比例要大些，對B校和C校的調查也得出同樣的結果。於是他擬寫了一個簡要報道，稱由抽取的三所學校的調查數據看，中學生中男生訂閱《中學生數學》的比例比女生大。後來，他又把三所學校的學生合起來作了一遍統計複核，匪夷所思的事情發生了，這時他得出的統計結果令他大吃一驚，原來訂閱《中學生數學》的所有學生中，女生的比例比男生要大些，怎麼會是這樣呢?這就象在玩一個魔術，少的變多了，多的變少了。你能幫他找找原因嗎?
接下來的這個悖論似乎更簡單了。有人把它歸入數學中對策論的研究範疇。
一位美國數學家來到一個賭場，隨便叫住兩個賭客，要教給他們一種既簡單又掙錢的賭法。方法是，兩個人把身上的錢都掏出采，數一數，誰的錢少就可以贏得錢多的人的全部錢。賭徒甲想，如果我身上的錢比對方多，我就會輸掉這些錢，但是，如果對方的錢比我多，我就會贏得多於我帶的錢數的錢，所以我贏的肯定要比輸的多。而我倆帶的錢誰多誰少是隨機的，可能性是一半對一半，因此這種賭法對我有利，值得一試。賭徒乙的想法與甲不謀而合。於是兩個人都愉快地接受了這位數學家的建議。看來這真是一種生財有道的賭博。
現在的問題是，一場賭博怎麼會對雙方都有利呢?這象不象一場機會均等的猜硬幣正反麵的遊戲，輸了隻付1元，而贏了則收2元呢?據說這是個一直讓數學家和邏輯學家頭疼的問題。《科學美國人》雜誌社一直在征求這個問題的答案呢。其實隻要認真分析一下，對這個問題也不難給出有說服力的解釋。
讓我們再來看一個邏輯學的悖論吧。一位數學教授告訴學生，考試將在下周內某一天進行，具體在星期幾呢?隻有到了考試那天才知道，這是預先料不到的。學生們都有較強的邏輯推理能力，他們想，按教授的說法，不會是星期五考試，因為如果到了星期四還沒有考試，那教授說的“隻有到了考試那天才知道，這是預先料不到的”這句話就是錯的。因此星期五考試可以排除。那就隻可能在星期一到星期四考。既然這樣，星期四也不可能考，因為到了星期三還沒有考試的話，就隻能是星期四了，這樣的話，也不會是預料不到的。因此星期四考也被排除了。可以用同樣的理由推出星期三、星期二、星期一都不可能考試。學生們推出結論後都很高興，教授的話已經導出矛盾了，輕輕鬆鬆地過吧。結果到了下周的星期二，教授宣布考試，學生們都愣住了，怎麼嚴格的推理失效了呢?教授確實兌現了自己說的話，誰也沒有能預料到考試的時間。現在請你想一想，學生們的推理究竟錯在哪裏呢?
關於運動的悖論有很悠久的曆史，這裏介紹的“螞蟻與橡皮繩悖論”是一道讓你的直覺經受考驗的數學趣題。問題是這樣的：一隻螞蟻沿著一條長100米的橡皮繩以每秒1厘米的勻速由一端向另一端爬行。每過 1秒鍾，橡皮繩就拉長100米，比如10秒後，橡皮繩就伸長為1000米了。當然，這個問題是純數學化的，既假定橡皮繩可任意拉長，並且拉伸是均勻的。
螞蟻也會不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長時，螞蟻的位置理所當然地相應均勻向前挪動。現在要問，如此下去，螞蟻能否最終爬到橡皮繩的另一端?
也許你會認為，螞蟻爬行的那點可憐的路程遠遠趕不上橡皮繩成萬倍的不斷拉長，隻怕是離終點越來越遠吧!但是千真萬確，螞蟻爬到了終點，奇怪嗎?
37放大鏡不能把“角”放大
我們看到老人家看報、讀書，往往戴上老花眼鏡，或者拿上一麵放大鏡。因為老花眼鏡片和放大鏡片都能把文字或圖畫放大，所以老人家用它。
放大鏡的確可以把任何東西放大幾倍、十幾倍甚至幾十倍。如果要放大幾百、幾千倍，甚至幾萬、幾十萬、幾百萬倍，還可以用光學顯微鏡或者電子顯微鏡。
可是，有一件東西卻無論如何也放大不了。你猜，這是什麼東西呢？這就是幾何學裏麵所用到的“角”。“角”的實用價值很大，測量和設計機器都要用到它。“角”是由一點所引兩條射線組成的。譬如∠AOB，就是由兩條射線OA和OB組成的。“角”的大小，是指同一點所引兩條射線張開的程度。我們已經知道，一個角的大小是用幾度、幾分、幾秒來表示的。
例如，有一個“角”是30°，在放大鏡下麵看起來，它還是30°。雖然放大鏡使畫麵上的線條變粗、字母變大了，可是，這個角張開的程度，還是沒有改變。
為什麼呢？
第一，因為經過放大以後，這兩條射線的位置，仍舊不變。OB占有水平的位置，放大後仍舊占著水平的位置；OA原來是這麼斜著的，放大後它還是這麼斜著。所以，張開的程度不變。再則，放大鏡隻能把東西的各部分成比例地放大，而形狀不變。在數學上，原來的圖形與放大後的圖形，稱為“相似形”。相似形的對應角是相等的。因此，放大鏡下的∠AOB，與畫麵上的∠AOB，在大小上是相等的，並沒有被放大。
最明顯不過的例子，就是桌子或者書本的四角，不管怎麼放大，它們的四個角仍舊都是直角。因此可以說，隨便多少度數的角，“放大”以後度數是不改變的；也就是說，圖形是放大了，但“角”是不會被放大鏡放大的。
38莊家為什麼會贏
所謂“機會型”賭博，就是說勝敗完全靠碰運氣，它最容易引誘青少年上當。因為表麵上看來機會均等，甚至有利於參加者，事實上，幾乎所有的“機會型”賭博，機會都不是均等的，總是有利於莊家的。這究竟是為什麼呢？
我們來看一種在國外頗為盛行的賭博——“碰運氣遊戲”。它的規則如下：每個參加者每次先付賭金1元，然後將三個骰子一起擲出。他可以賭某一個點數，譬如賭“1”點。如果三枚骰子中出現一個“1”點，莊家除把賭金1元發還外，再獎1元；如果出現兩個“1”點，發還賭金外，再獎2元；如果全是“1”點，那麼發還賭金，再獎3元。
看起來，一枚骰子賭“1”點，取勝的可能性是1/6；那麼兩枚骰子就有1/3的可能性，三枚也就有1/2的可能性。即使是1元對1元的獎勵，機會也是均等的，何況還可能有2倍、3倍獎勵的可能性，自然是對參加者有利。其實，這隻是一個假象。
我們來計算一下，三枚骰子一起擲，會出現怎樣的情況？第一枚有6種可能，而對於它的每一種結果，第二枚又有6種可能，第三枚也是如此，所以一共有6×6×6＝216種可能結果。在這216種可能結果中，三枚點數各不相同的可能就是6×5×4＝120種。三枚點數完全相同的可能隻有6種，即都是“1”、“2”……“6”。餘下的216－120－6＝90種可能，就是三枚中有兩枚點數相同的情況。
一個參加者，假設他總是賭“1”點，如果賭了216次，那麼他能有幾次獲獎呢？先來看隻有一枚出現“1”點的情況：出現“1”點的骰子可能是第一枚，也可能是第二或第三枚，共有三種可能，而其餘兩枚不出現“1”點的可能性有5×5＝25種，所以共有3×25＝75種可能。這75種可能出現時，他可獲2元，那麼總共可獲75×2＝150元。再來看出現兩枚“1”點的可能性：可以出現在第一和第二枚，也可以是第一和第三枚，還可以是第二和第三枚，也是三種可能；而另一枚骰子不出現“1”點隻有5種可能，所以共有15種可能。這時，每次他可獲3元，共45元。最後，三枚都出現“1”點的隻有一種可能，這時，他可獲4元。
這樣，216次，他共獲150＋45＋4＝199元。但每次先付1元，他共付了216元。所以，一般來說，他會輸216－199＝17元。
我們再來看看莊家的情況。假設有6人參加賭博，每人分別賭“1”、“2”……“6”點，並且假定進行了216次。莊家每次收進了6元賭金，216次共收了6×216＝1296元。那麼他會付出多少呢？
從前麵的分析中我們已經知道，在216次中有120次結果是三枚骰子點數各不相同的。譬如，出現了“1”、“2”、“3”，於是賭“4”、“5”、“6”點的三位參加者就輸了。莊家要付給贏的三家每人2元，共6元，120次，共計6×120＝720元。另外有90次是有兩枚骰子點數相同的，譬如“1”、“1”、“2”，那麼，賭“3”、“4”、“5”、“6”點的就輸了，賭“2”點的可得2元，賭“1”點的可得3元，莊家每次付出5元，90次共計5×90＝450元。最後，還有6次是三枚骰子點數完全相同的，譬如都是“1”，這時，隻有賭“1”點的贏，可得4元，6次，共24元。
所以，莊家一共付出720＋450＋24＝1194元。於是莊家淨賺1296－1194＝102元，占總金額的79％。
現在，你明白了嗎？賭博是沒有好處的，千萬不要參加賭博。
39同學的生日
你有沒有發現，在同班同學中，幾乎總是有生日相同的。不信，你可以去統計一下。但是，你能說出為什麼嗎？一個班級不過40～50人，而一年有365天，生日怎麼會“碰”在一起呢？
我們先來計算一下“四人的生日都不在同一天”的可能性（概率）。隨意找一個人甲，他的生日可能是365天中的任何一天，就是說有365種可能；第二個人乙，第三個人丙，第四個人丁也是同樣。於是四人的生日狀況共有3654種情況。那麼生日各不相同的情況占了多少呢？如果要使乙的生日不與甲相同，那麼乙就隻能是除去甲生日那一天的其它364天中的某一天，即有364種可能。同理，丙不能與甲、乙兩人的生日相同，那麼有363種可能；丁不能與前三人生日相同，於是隻有362種可能。因此，“甲、乙、丙、丁四人生日都不在同一天”的可能性是