第二章4
19世紀後半葉，人們對黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數所創造的雙有理變換的方法產生極大的興趣。當時他們把代數不變量和雙有理變換的研究稱為代數幾何。
黎曼在1857年的論文中認為，所有能彼此雙有理變換的方程(或曲麵)屬於同一類，它們有相同的虧格。黎曼把常量的個數叫做“類模數”，常量在雙有理變換下是不變量。“類模數”的概念是現在“參模”的特殊情況，研究參模上的結構是現代最熱門的領域之一。
著名的代數幾何學家克萊布什後來到哥廷根大學擔任數學教授，他進一步熟悉了黎曼的工作，並對黎曼的工作給予新的發展。雖然黎曼英年早逝，但世人公認，研究曲線的雙有理變換的第一個大的步驟是由黎曼的工作引起的。
黎曼在數學物理、微分方程等其他領域也取得了豐碩的成果。
黎曼不但對純數學作出了劃時代的貢獻，他也十分關心物理及數學與物理世界的關係，他寫了一些關於熱、光、磁、氣體理論、流體力學及聲學方麵的有關論文。他是對衝擊波作數學處理的第一個人，他試圖將引力與光統一起來，並研究人耳的數學結構。他將物理問題抽象出的常微分方程、偏微分方程進行定論研究得到一係列豐碩成果。
黎曼在1857年的論文《對可用高斯級數表示的函數的理論的補充》，及同年寫的一個沒有發表而後收集在其全集中的一個片斷中，他處理了超幾何微分方程和討論帶代數係數的階線性微分方程。這是關於微分方程奇點理論的重要文獻。
19世紀後半期，許多數學家花了很多精力研究黎曼問題，然而都失敗了，直到1905年希爾伯特和Kellogg借助當時已經發展了的積分方程理論，才第一次給出完全解。
黎曼在常微分方程理論中自守函數的研究上也有建樹，在他的1858～1859年關於超幾何級數的講義和1867年發表的關於極小正曲麵的一篇遺著中，他建立了為研究二階線性微分方程而引進的自守函數理論，即現在通稱的黎曼——許瓦茲定理。
在偏微分方程的理論和應用上，黎曼在1858年～1859年論文中，創造性的提出解波動方程初值問題的新方法，簡化了許多物理問題的難度；他還推廣了格林定理；對關於微分方程解的存在性的狄裏克萊原理作了傑出的工作……
黎曼在物理學中使用的偏微分方程的講義，後來由韋伯以《數學物理的微分方程》編輯出版，這是一本曆史名著。
不過，黎曼的創造性工作當時未能得到數學界的一致公認，一方麵由於他的思想過於深邃，當時人們難以理解，如無自由移動概念非常曲率的黎曼空間就很難為人接受，直到廣義相對論出現才平息了指責；另一方麵也由於他的部分工作不夠嚴謹，如在論證黎曼映射定理和黎曼—羅赫定理時，濫用了狄利克雷原理，曾經引起了很大的爭議。
黎曼的工作直接影響了19世紀後半期的數學發展，許多傑出的數學家重新論證黎曼斷言過的定理，在黎曼思想的影響下數學許多分支取得了輝煌成就。
33幾何函數理論
克萊因（1849～1925）德國數學家。1849年4月25日生於杜塞爾多夫，1925年6月22日卒於格丁根。
克萊因在杜塞爾多夫讀的中學，畢業後，他考入了波恩大學學習數學和物理。他本來是想成為一位物理學家，但是數學教授普律克改變了他的主意。1868年克萊因在普律克教授的指導下完成了博士論文。
在這一年裏，普律克教授去世了，留下了未完成的幾何基礎課題。克萊因是完成這一任務的最佳人選。後來克萊因又去服了兵役。
1871年，克萊因接受哥廷根大學的邀請擔任數學講師。1872年他又被埃爾朗根大學聘任為數學教授，這時他隻有23歲。
1875年他在慕尼黑高等技術學院取得了一個教席。在這裏，他的學生包括胡爾維茨、馮戴克、洛恩、普朗克、畢安奇和裏奇。五年之後，克萊因應邀去萊比錫大學講授幾何學。在這裏他和他過去的出色的學生馮戴克、洛恩、司徒迪和恩格爾等成為了同事。
1886年，克萊因接受了哥廷根大學的邀請來到哥廷根，開始了他的數學家的生涯。他講授的課程非常廣泛，主要是在數學和物理之間的交叉課題，如力學和勢論。他在這裏直到1913年退休。他實現了要重建哥廷根大學作為世界數學研究的重要中心的願望。
著名的數學雜誌《數學年刊》就是在克萊因的主持管理下才能在重要性上達到和超過了《克萊爾雜誌》的。這本雜誌在複分析、代數幾何和不變量理論方麵很有特色。在實分析和群論新領域也很出色。
要了解克萊因對在幾何學上所作的貢獻的特點是有點難的，因為即使用我們今天數學思想的大部分來理解他的結果的新奇之處也是很困難的。
克萊因在數學上做出的第一個貢獻是在1870年與李合作發現的。他們發現了庫默爾麵上曲線的漸近線的基本性質。他進一步地與李合作研究W-曲線。1871年克萊因出版了兩篇有關非歐幾何的論文，論文中證明了如果歐氏幾何是相容的，那麼非歐幾何也是相容的。這就把非歐幾何置於與歐氏幾何同樣堅實的基礎之上。
克萊因在他的著名的埃爾朗根綱領中，以變換群的觀點綜合了各種幾何的不變量及其空間特性，以此為標準來分類，從而統一了幾何學。今天這些觀點已經成為大家的標準。變換在現代數學中扮演者主要角色。克萊因指明了如何用變換群來表達幾何的基本特性的方法。
而克萊因自己認為他對數學的貢獻主要在函數理論上。1882年他在一篇論文中用幾何方法來處理函數理論並把勢論與保形映射聯係起來。他也經常把物理概念用在函數理論上，特別是流體力學。
克萊因對大於四次的方程特別是用超越方法來解五次的一般方程感興趣。在厄爾米特和克隆耐克爾建立了與布裏奧斯奇類似的方法之後，克萊因立刻就用二十麵體群去試圖完全解決這個問題。這個工作導致他在一係列論文中對橢圓模函數的研究。
1884年，克萊因在他的一本關於二十麵體的重要著作中，得到了一種連接代數與幾何的重要關係，他發展了自守函數論。他和一位來自萊比錫的數學家羅伯特，弗裏克合作出版了一套四卷本的關於自守函數和橢圓模函數的著作，這本著作影響以後20年。另一個計劃是出版一套數學百科全書。他積極地參與到這個工作中，與K,穆勒一起編輯力學部分的四卷。