課後訪談，作者和教師也談到了有刻度的量杯這個問，當說及……因為你一再強調這個杯子一定要有刻，我覺得有點限製，有點兒限製思維，教師承認：有點。後來她補充說：我問他（某個學生）今天有什麼收，他說他可以把東西放在杯子，計算這個物體的體，然後我就追問了一句（沒有刻度嗎？追問完了我也馬上後悔了。其實也不管，就是一種方，不管它有沒有刻，沒有刻度也可以想其他的方法去量的。後來我問，我才知，哎，不要強調這個問題才，因為有些孩子問細了以，局限性就比較大，我就發現他們是這樣的。
這節課堂，在與燕老師交流，開始有意識凸顯培養學生數學思維的問，但是如何才是和才能做到呢？
（三）重複體驗的藝術：複式折線統計圖的交互決策比較
已經開始收集第二輪數據，為了配合作調，燕老師特意將教材後部分的統計內容調前教，因為本書想收集一些概率與統計領域的數，燕老師則選擇了複式折線統計圖。複式折線統計圖是五年級下冊的學習內，之前的義務教育教材沒有編排此內容。學生在四年級上冊學習過複式條形統計，四年級下冊學習了單式折線統計，已經知道了複式相比單式的好，折線相比條形的優點。但是學習複式折線統計圖時分別在學習了相關知識的一年和半年以，在所難免要複習相關的知識。而統計內容的操作性，小學生對於直觀體驗的統計知識更容易理解。所，教師複習單式折線和複式條形的課堂過程肯地必不可，而且學生也會重複性體驗一些過去曾經操作過的過，這個過程至少會呈現出兩種可能情況：一是純粹重複；二是藝術重複。
教師的課堂交互決策決定重複的形，下麵兩個案例分別體現了這兩種情況。
第一個案例重複體驗事件鏈和決策鏈：（FT-ch-20080508-11）
事件1：教師出示中國和韓國從24到28屆奧運會獲金牌枚數的文字信，請學生閱讀。
決策1：不看這個，你們能記住剛才某某讀的這些獲得金牌的枚數麼？為了讓每一個人能清楚的記憶或者是了解這些信，你認為用什麼辦法可以更好一些？
（學生先後說出統計表和折線統計圖）
事件2：教師出示準備好的統計，教師問韓國25屆獲金牌多少枚？中國27屆獲金牌多少枚？類似問，學生看表搶，最後得出這個統計表確實很直，比剛才的文字表達更容易更清楚。的結論。
事件3：教師出示準備好的折線統計，教師考學生橫軸、縱軸分別表示什麼（金牌的枚數和屆數）以及再次詢問了事件2中提到的問題。
決策2：教師提問在這個統計圖，你獲取了哪些信息
（學生分別說出：中國獲金牌的趨勢增，25屆和26屆金牌數一，中國獲金牌最少枚數的是在24，最多枚數是在28，26屆到27屆增加的金牌數最多。最後得出這就是四年級學過的折線統計，折線統計圖，有個非常好的地，就是它那個折線的升或降讓人很容易看出它的數量的變化的結論。）決策3：你們做一做韓國獲金牌的情，用折線統計圖來描述。
（學生作，教師巡視。學生展，教師請一位成績較好的學生陳述作圖過程。）事件4：教師請學生比較中國獲金牌枚數和韓國獲金牌枚數並回答。
（學生答案涉及兩國各屆金牌數多少比，中國的金牌相差的比較大而韓國的呢相差的比較平穩）決策4：-會中國，一會韓國，我覺得非常的不方，你能幫我想什麼辦法？（學生很快說把它們兩個結合在一起。）師：為什麼？
生：比較省力方，而且不用這樣點來點去。
師：不要跟老師換來換，點來點，不好比，你們的眼睛看在圖上也是看來看去、看來看，非常的麻，對不對？如果把兩個這樣的統計，這樣的折線統計圖叫做單，單式折線統計，如果把這兩個單式的統計圖和在一，那應該叫做什麼？
生：雙式折線統計圖（複式）。
事件5：教師畫複式折線統計圖
決策5：你發現了什麼？
（學生回答中國用實線表，韓國用虛線表示。）事件6：學生畫複式折線統計圖（教師提供材，上麵已經畫出中國的折線統計圖）。
事件7：結合上述過，師生一起歸納複式折線統計圖的好，並請學生估計馬上開始的北京奧運會中國會獲得多少枚金牌。
（總結出3個好處：方便對比、直觀、上升金牌就增，下降金牌即減少。）第二個案例重複體驗事件鏈和決策鏈：
事件1：出示問題（從兩位同學中選拔一位參加跳繩比，兩位同學各有5次訓練成績）
張明：201，205，208，213，217。
王星：206，204，210，209，202。
（學生從數據變化趨勢中一致認為應該選張明）
決策1：想更清楚、直觀看出兩人成績變化趨，還可以用什麼來表示？
（學生很快說出是統計圖）
決策2：已經學過條形統計圖和折線統計，你認為用什麼統計圖來表示比較合適？
（學生討論得出應選用折線統計，因為可以清楚地看出數據增減變化情況。）
事件2：分別呈現兩位同學成績的折線統計，非常清，淘汰王星。
事件3：再呈現劉輝成績統計，張明和劉輝誰獲勝可能性更大？
（學生討論都認為張明獲勝可能性大。因為他們成績雖然都在上，但張明折線斜得厲，說明他上升趨勢更明顯。）決策3：能否想個辦法對兩張圖作個處，使得一下子就能看出張明比劉輝進步更快？（學生說把兩張統計圖合並在一起。）決策4：直接過，教師說以前學過兩張條形統計圖合並在一，今天試試把兩張折線統計圖也合並在一起。
（學生操，教師課件演示合並。）
事件4：再次喚醒舊，用不同顏色區分兩條折，並板書揭題。
事件5：感悟優點（你怎麼一下子就看出張明的成績進步快呢？）（學生先，師生共同得出便於比較兩組數據的變化趨勢。）事件6：變式練習（出示以體重為題材問題，驗證複式折線統計圖是否真的便於比較。
決策5：教師先呈現王芳體重變化折，學生說出自己的看，教師接著呈現標準體重折，學生再說自己看法。
事件7：嚐試繪製複式折線統計圖。
事件8：出示中國和美國在24-28屆奧運會獲金牌情況的複式條形統計，請學生分析中、美情，並預測中國能否在北京奧運會上金牌總數趕超美國。
決策6：課件演示複式條形統計圖轉化成複式折線統計圖的過，再次觀察趨勢。
事件9：知識梳，總結體驗。
之前的結論過程中深刻體悟複式折線統計圖的優點。這是本課的一大亮，再次體驗了複式折線統計圖便於比較兩組數據變化趨勢的特點。隨後的決策演示複式條形統計圖轉化成複式折線統計圖的過程是本課的另一個獨到之處。將複式條形統計圖轉化成複式折線統計圖，學生感悟到了知識之間的緊密聯，更深刻體會到了複式折線統計圖在比較數據變化趨勢，相比複式條形統計圖所具有的更大優勢。其最大特點，學生對複式折線統計圖好處的認識是在解決問題鏈的思維過程中深刻體悟出來，而不是單一地說出來的。
而案例1教師的決策並沒有激發學生的思維。縱向觀察各個教師的決策線，案例2教師構建了一個以良好數學問題為載體的豐富的決策網，引領學生在相關知識點之間建立網絡思維聯，使學生在重複、比較的數學活動中得到新的發展。
（四）線段圖：畫與非畫
時隔數，孩子們已經是小學六年級的學生，研究者對這些孩子們平添了一些思，而孩子們也對研究者的重出江湖表示出了好感。和燕老師再次見麵的那天依然是晴空萬，儼如我們的心情那樣敞亮！燕老師說我瘦了，我覺得燕老師變得更漂亮了。時空蘊涵著各自的變，我們感受著彼此的變，也期待著共同的變化。
六年級上冊教材內容包括位置、分數乘除法、圓、百分數、統計等內容。再次進入他們的課堂，孩子們正學習分數的乘，並學習完成了分數乘法的運算和運算法，教材隨後編排的是分數乘法的解決問題。解決分數乘分數應用性問，畫線段圖是一個重要的策，教師也因此把它確定為教學目標之一。教材中的解決問題共有3個例，例1的計算非常簡，教師介紹說主要是訓練學生會畫線段，找準問題中的單位1，並會運用分數乘法解決生活中具體的問題。具體地，最開始的時候並沒有選擇觀察例1這節，因為內容太簡單，似乎沒有什麼需要準備的事情。與燕老師交流，她也表達了這樣的意，她說解決問題這類課就是計，感覺沒有什麼講，學生聽起來也覺得沒有意，課堂上死氣沉沉的。他們小學教師都不願選擇這類內容去上公開，因為學生不能操，難以展開。於是選擇聽例，因為計算稍稍複雜一些。但是湊巧要上例2那，燕老師是兩節連堂，先上例，便一起聽了。可，出人意料的偏偏是例1引發了更多的思考和研，而這個思考源於課堂上教師要求學生畫線段圖的一個應變決策。
按照教學計劃決，教師準備講解完例，就完成做一做和習題的第9題。課堂進展基本按照計劃進，但是完成做一做，教師並沒有繼續做習題的第9題。因為燕老師突然發現第9題屬於例2對應的習，於是課堂應，決定把做習題9改為畫線段圖。該教學片斷如下：（KT-ch-20080918-22）（A表示教師；其餘符號表示不同的學生）A：現，我來訓練畫一下線段圖。請你快速的表示。剛才那個分數（分母）很，所以有些同學畫線段圖很麻，現在該你介紹方法了……（一學生介紹方法）A：對吧？畫4cm的線，4格。1cm就是1，對不對？可能畫1m不？可能畫4mm不？（有學生說可以，老師不理會）有跟他不同麼？
B：他畫8cm！
A：你畫8c，你說說看。（學生解釋）一格就是2cm。都可，他是把4cm看做單位，他是把8cm看做單位，都是可以，你明白沒有？
（有學生回答明，有學生問那4mm呢？教師沒有理會。）A：再來一，看誰聰，25/100……25/100難道就是畫100格麼？某某同，你來介紹下經驗！
這節課的課後訪談，沒有談論這個話題。但，筆者卻思考了很多。
首，從表層，燕老師的畫線段圖的變化決策隱含兩個子決策：其中，是把實際長度與分數的分子和分母絕對對應。比如表示1/，則畫4cm長表示整，取1cm表示其中的一，然後又說可能用分米或毫米來畫嗎？給出不方便的暗示；其中，是認為畫25/100就是畫1/，並因此還責備試圖畫100格（cm）的學生。變化決策1把線段實際長度與分子和分母絕對對，違背了線段圖本身固有的相對性；變化決策2把25/100的線段圖與1/4的線段圖絕對等，違背了分數的意義。從分數意義角度，這兩個分數是不一樣，而畫線段圖實際上是分數意義的一種體現形式。這兩個子決策除了說明教師的學科知識理解的欠，更重要的是揭示了教師作出決策的隨意，以及決策過程限製學生思維的支配性走向。