三、現代數學分科簡介
（―）微積分
研究函數的導數、積分的性質，運算和應用的一門學科。
牛頓和萊布尼茨在前人研究的基礎上獨立建立了微積分1665—1666年牛頓在解決力學中的速度問題時確定了微積分的計算方法。1673—1676年萊布尼茨在求幾何中的切線問題時解決了微積分的計算方法並使用了符號，後來拉格朗日和柯西把它完善起來。
（二）微分方程
研究含有未知函數的導數或微分的方程，若未知函數是一元函數則稱為常微分方程；未知函數是多元函數則稱偏微分方程。微分方程的基本問題是：在一定條件下，確定由微分方程所描述的運動狀態或從所給微分方程解出未知函數（即稱為定解問題）從十七世紀出現，十八世紀以後有發展，第二次世界大戰後發展更為迅速。
（三）微分幾何
以數學分析、微分方程為研究工具來研究空間形式的一門數學分科。主要討論光滑曲線曲麵的性質。歐拉在發展這門學科中有突出的貢獻，後來高斯《彎曲曲麵的一般研究》又有新突破，1854年黎曼把高斯的內在幾何學推廣到高維。二十世紀又有突出發展。
（四）非歐幾何學
包括“雙曲幾何學”這是1826年羅巴夫斯基發現，他把歐幾裏得平行公理為“過已知直線外一點，可以做一條以上的線與已知直線平行”。從而得出三角形內角和小於兩直角和結論。
“橢圓幾何學”。這是黎曼又改變了雙曲幾何學中的原平行公理（也叫第五公設過已知直線外一點不能作直線與已知直線平行。並把歐氏幾何中的“直線的長是無限的”改為“直線是無止境的”（比如球麵上的大圓，它的長是有限的，但無止境、得出“三角形內角和大於兩個直角”的結論。
（五）實變函數論
內容包括實值函數的連續性質、微分理論，積分理論及測度論等。它是微積分的進一步發展，主要解決更為廣泛的函數類。
（六）複變函數論
它是研究定義在複數平麵上的函數性質，主要內容有解析函數的基本理論，黎曼麵與保形變換理論，整函數與半純函數的理論，特殊函數論，調和函數論等。這些理論在十九世紀形成。柯西，黎曼和維爾斯特拉斯有傑出貢獻。我國數學家楊樂，張廣厚在單複變函數的值的分布理論和漸近值理論有世界水平的成果。
（七）數理邏輯（符號邏輯）
主要研究推理，計算等邏輯問題。內容有模型論，集合論、遞歸論，證明論等最早是萊布尼茨提出1847年布爾特將其發展，20世紀30年代哥德爾證明了謂詞演算的完整性和算術係統的不完整性等，使該學科形成完整理論。
（八）近世代數學（抽象代數學）
代數學的對象擴大為向量，矩陣、張量、旋量、超複數、群等，這些量都用字母表示，對某類對象給出一些運算以及運算所滿足的規律，也即給出了一個代數係統。並把這個代數係統作為廣義的數係。這樣相應出現了很多分支如代數拓撲學，代數幾何學，代數數論、代數函數論、拓撲群、李群、拓撲代數等，其內容很廣泛。如群論、環論、域論、代數結構論、理想論、賦值論等。
（九）拓撲學
研究幾何圖形等在伸縮下不變的空間性質的學科。它是一門幾何學。內容包括點集拓撲、代數拓撲，微分拓撲。十九世紀形成產生。在20世紀有很大發展。
（十）泛函分析
綜合運用分析，代數和幾何的觀點、方法研究分析數學中的許多問題。主要內容有拓樸線性空間，（特別是巴拿赫空間，希爾伯特空間）及算子理論、廣義函數論、非線性泛函分析等方麵。泛函分析在數學物理方程、概率論，計算數學以及在物理連續介質力學、統計物理學、量子力學等有重要應用，是控製理論中的重要工具。
（十一）計算數學
關於運用現代計算技術解決昇體問題的數學科學。它直接與計算機的發展相聯係。它的內容主要是計算方法和程序設計。
（十二）模糊數學
是處理和綜合模糊信息的數學工具。1965年美國查德第一次提出了“模糊集合”的概念，為這門學科奠定了基礎。模糊數學的產生與計算機科學的發展及應用有密切的關係。在人們的思維和語言中很多概念是模糊的東西。經驗也是模糊的東西。沒有明確外延的概念叫模糊概念，含有模糊概念的語言叫模糊語言；由模糊語言所描述的現象叫模糊現象。但人腦在分析處理這些模糊的問題時，卻很靈活有一定的精度。把這種理論移植在計算機上就增加了“智能”，模糊數學的內容分為識別判決與控製規劃兩方麵。識別，判決的數學方法，目前有模糊類聚分析，模糊模型識別，模糊綜合評判等方麵。控製，規劃的模糊數學方法有模糊博奕，模糊規劃，模糊係統，模糊控製，模糊語言程序等。