在算術和代數的領域中，數論的基礎已出現。歐幾裏得對素數已確立了無限多個素數存在可以用“愛拉托斯芬的篩子去尋找；丟番圖能解整數方程。希臘人發現了無理量，用線段加以考察，求出了平方根和立方根，知道算術級數和幾何級數的性質。在這個時期丟番圖運用字母表示未知數和它的方次以及加、減等特殊記號。
在同一個時期的中國，算術已經達到了很高的水平，公元前二世紀到公元一世紀已經對三元一次方程組有了算術解的規則，還找到了平方根和立方根的求法。
（2）東方時期（公元五世紀一十五世紀）
隨著希臘在曆史上的消亡，希臘科學東漸到中亞和阿拉伯及印度等地運。這一階段數學的發展與當時的航海及天文有著密切的關係特別是計算上的需要非常突出。不少數學家又都是天文學家。印度人發明了現代計數法，他們引進了負數、並把負數與正數對立起來與財產的存欠和直線上兩個方向的對立聯係起來，無理量被引入而且被運算，逐漸建立了代數運算的符號（已經有了求根的符號）對數的一般定義奧瑪爾海揚指明為：兩個量的任何比都可以稱為數。（不管是通約或不通約的量），這就是牛頓在《數學原理》中把數“理解為單位的集合，不如把數理解為某個量對另一個被取作單位的量的抽象的比。”這個數可以是整數，有理數或無理數。
“代數”這個名字也在九世紀出現，意思是整理和對比，整理把負項移到方程另一邊，對比就是把方程兩邊的相同項消掉，阿拉伯字譯成拉丁文。這就是代數的名稱。有人把代數定義為解方程的科學。中亞的數學家找到了術根和一係列方程的近似解的方法，發現了牛頓二項式定理的公式，把三角建成了一個係統，計算出準確的正弦表。這個表是吉雅賽金計算的，他還發明了十進位小數（比歐洲早150年）。
這個時期現代十進位計數法，初等代數和三角已經形成了係統，當時還缺少完整的字母符號係統。
（3）歐洲的發展（十五世紀到十六世紀末）
隨著文藝複興，歐洲人把希臘和中東時期的數學成果引入。到公元十六世紀已經越過了前人的成就。意大利人在一般形式上解了三次方程和四次方程，這個時期開始運用虛數，創造了現代的代數符號，用字母表示已知數，十進小數也被使用。1614年英國人納皮爾發明了供天文計算作參考的對數，1624年布利格計算出第一批十進位對數表，出現了“組合論”，這個時期對常量數學（初等數學）基本上完成了。
（四）變量的數學
到十六世紀對於運動的研究成了自然科學的中心問題。對各種變化過程和各種變化中的量之間的依賴關係促進了函數的發展。人們認識了變量在變化過程中有主從關係和依賴關係，從大量的實際問題中抽象為產生這種數學關係，專門研究函數的領域叫數學分析，有人把數學分析稱為無窮小量的分析，因為無窮小量是研究函數的重要工具，數學分析是在已形成著的力學的材料基礎上，在幾何問題和從代數中引出的方法的問題和基礎上建立起來的。1637年笛卡兒在《幾何學》這本書中提出了一種基本思想，它們又可以表示成他又引進了直角坐標係和點的坐標，把平麵上的點與有序的實數對（點的坐標）聯係起來，把方程（函數）和點的軌跡聯係起來，逐步形成了解析幾何的思想。幾何問題轉化為代數問題的數量關係和計算，它又以圓錐曲線為主要內容。
牛頓和萊布尼茨建立的微積分也是變量數學的發展，它研究函數本身的性質。微積分起源於作曲線的切線和求麵積和體積的問題，其中極限概念很重要。
同微分一道出現了級數理論，微分方程論，微分幾何。微分方程研究的方程中的未知項已不是量而是函數，即一個量對另幾個量的相依規律。這些都直接與力學中的運動規律有關，後來的變分學，微分方程定性理論，複變函數論相繼出現。到十七世紀射影幾何，畫法幾何也問世了。再後來研究“隨機事件的規律，給出研究出現於偶然性中的必然性的數學方法的概率也出現了。
十九世紀七十年代由康托爾所建立的任何抽象對象的無窮集合的一般理論就是“集合論”。
（五）現代數學
在原有基礎上現代數學可從以下幾個方麵加以介紹，
非歐幾何，1826年由羅巴切夫斯基從歐幾裏得幾何的基礎上提出了新公理，而且建立了新的理論係統，1854年黎曼明確表述了幾何所研究的“空間”數目無限的一般思想。這樣“空間”就不隻三維，可以是四維（黎曼空間）或更多的“維”。
現代代數，在代數對象和應用範圍上有擴展，代數最初是關於對數字的算術運算的學說，後來就用字母表示數實際是對量按照一定的形式和法則進行運算。現代對“量”已擴大到矢量等運算也不是算術運算了。如對矢量就是用平行四邊形法則，所以“量”已經被認為是“對象”了，把晶體對稱學說與分析，幾何、物理及結晶學聯係發展成了“群論”。
在分析方麵上產生了新理論函數逼近理論，它用較簡單的函數近似地代替複雜函數提供了一般根據。在分析和數理，物理發展的基礎上同幾何代數的新思想相結合產生了泛函分析，它把函數本身也看作是變的。
計算工具的發展，算盤是最早的計算工具之一（再早還有算籌），後來出現的對數計算尺，算術計算機，直到20世紀四十年代以後出現了現代計算機。在現代計算機的發展過程中數理邏輯發展起來。它把數學證明的分析做為對象，把一般邏輯中那些客觀上可以形式化並且可以用數學方法來發展的部分納入其中。
現代數學是各種量之間的可能的，一般說是各種變化中的量的關係和相互聯係的數學。