知曲線求它的方程時，一般應從純粹性和完備性兩個方麵證明求得的方程確為所求的曲線的方程。若推導過程準確，則曲線上任意一點的坐標都能適合所求得的方程，這時，證明中的純粹性部分可以省略，但完備性的證明必不可少。若方程化簡過程都是同解變形時，則完備性的證明也可省略。
在曲線與方程之間建立上述關係後，研究曲線的幾何問題就可以轉化為研究曲線方程的代數問題。平麵解析幾何的兩個基本問題就是：①已知曲線求方程；已知方程討論曲線的性質（截距，對稱性，範圍等），並畫出曲線。
方程的曲線與函數的圖象是兩個既有聯係又有區別的概念。
（曲線在坐標軸上的截距）若曲線與x軸有交點，則從原點到交點的有向線段的數量叫做曲線在x軸上截距或橫截距；若曲線與y軸有交點，則從原點到交點的有向線段的數量叫做曲線在y軸上的截距或縱截距。
（曲線的對稱性）
說明；曲線關於X軸的對稱性，關於軸的對稱性，關於原點的對稱性反映了方程的曲線與坐標係的位置關係的特征。應當把上述三種曲線的特殊的對稱性與曲線自身所具有的對稱性區別開來。例如，任何一條直線都是中心對稱圖形，直線上任意一點都可以是它的對稱中心3但是當直線不通過原點時，就不能關於原點對稱，任何一個圓都是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，它的任意一條直徑都可以是它的對稱軸，圓心是它的對稱中心，但是當圓心不在軸上時，圓就不能關於軸對稱，當圓心不在軸上時，圓1就不能關於：軸對稱，當圓心不在原點時，圓就不能關於原點對稱。
（曲線的範圍）分析曲線的方程，求出當取哪些實數值時才能使有確定的實數值與之相對應，當取哪些實數值時才能使工有確定的實數值與之相對應。
（曲線的漸近線）設曲線C上的點P到定直線l距離為d，當點屍沿曲線C趨向於無窮遠時，d無限趨近於零，則稱直線l是曲線C的漸近線。
（求曲線的方程）求曲線的方程的基本步驟是：建立適當的坐標係。
（曲線的交點）兩條曲線交點的坐標是兩個曲線方程組成的方程組的實數解；方程組有幾組實數解，兩條曲線就有幾個交點，方程組沒有實數解，兩條曲線沒有交點。
（二）直線
（直線的傾斜角）一條直線l向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做直線l的傾斜角，簡稱傾角。當直線l與x軸平行或重合於x時，規定它的傾斜角為0。
（直線的斜率）一條直線l的傾斜角a的正切叫做直線l的斜率，通常用k來表示。
（直線方程的斜截式）斜率為k縱截距為b的直線的方程叫做直線方程的斜截式或直線的斜截式方程。
（三）圓
（圓的定義）平麵上到一個定點的距離等於定長的點的軌跡叫做圓，定點叫做圓心，定長叫做半徑。
說明：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
（圓的標準方程）
說明：已知圓心坐標和半徑便可直接寫出圓的標準方程；反之，隻需給出圓的標準方程便可直接確定圓心坐標和半徑。
（四）橢圓
（橢圓）平麵內到兩定點廠、的距離之和等於定長的點的軌跡叫做橢圓，兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距。
（五）拋物線
（拋物線的定義）定義1：平麵內到一個定點F和一條定直線L的距離相等（或者說距離之比等於1）的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物。
定義2：用一個不過直圓錐頂點的平麵圓錐的側麵。當平麵與直圓錐軸線的夾角等於圓錐的半頂角（即與直圓錐的母線平行）時，所截得的曲線叫做拋物線。
（拋物線的標準方程）由於拋物線與坐標係的不同位置關係，拋物線的標準方程有四種不同形式，如下表所示。
拋物線的標準方程的“標準”二字的含義，方程右端則隻含有F的一次項或工的一項，係數可正可負；從曲線的特征來看：頂點位於坐標原點，焦點在坐標軸上，準線垂直於坐標軸。
頂點在（x，y）對稱平行於坐標軸的拋物線方程，由於拋物線有不同的開口方向，方程有四種不同形式。
說明這四個方程是借助於坐標軸的平移公式，由拋物線的標準方程導出的。
這四個方程對應的拋物線與標準方程的四種不同形式對應的拋物線有類似的性質。
（六）圓錐曲線的切線和法線
（曲線切線和法線的定義）P和Q是曲線C上鄰近的兩點，P的定點，當Q點沿著曲線C無限地接近P點時，割線抑的極限位置PQ叫做曲線C在點P的切線，P點叫做切點；經過切點C並且垂直於切線的直線叫做曲線C在點P的法線。
（切線的斜率）P和Q是曲線C上鄰近的兩點，P是定點。當Q沿著曲線C無限接近P點時，割線的斜率的極限叫做曲線。
（經過圓錐曲線上一點的切線方程和法線方程）經過圓錐曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）上一點的切線方程和法線方程。
說明（1）以上切線方程和法線方程是在求出切線和法線的斜率後，代入點斜式方程經過整理而得出的。