（三）多麵體和旋轉體
（多麵體）由若幹個多邊形（包括它的平麵部分）圍成的幾何體，叫做多麵體。圍成多麵體的各個多邊形叫做多麵體的麵，兩個麵的公共邊叫做多麵體的棱，若幹個麵的公共頂點叫做多麵體的頂點。
把多麵體的任何一個麵伸展為平麵，如果所有其它各麵都在這個平麵的同側，這樣的多麵體叫做凸多麵體
一個多麵體至少有四個麵。多麵體依照它的麵數分別叫做四麵體、五麵體、六麵體。
（正多麵體）每個麵都是有同數邊的正多邊形，在每個頂點都有同數棱的凸多麵體，叫做正多麵體，在正多麵體裏，所有的棱、所有的麵角和所有的二麵角都是相等的。
正多麵體隻能有五種：用正三角形做麵的正多麵體隻有正四麵體、正八麵體、正二十麵體，它們每個頂點的棱數分別是3、4、5；用正方形做麵的正多麵體隻有正六麵體，它的每個頂點的棱數是3；用正五邊形做麵的正多麵體隻有正十二麵體，它的每個頂點的棱數也是3，不能用邊數大於五的正多邊形做正多麵體的麵，否則凸多麵角各麵角的和將不小於四直角，與凸多麵角的性質定理矛盾。
（歐拉定理）表麵連續（不破裂）變形，可變形為球麵的多麵體叫做簡單多麵體。棱柱、棱錐、棱台、正多麵體、凸多麵體都是簡單多麵體。
歐拉（公元1707—公元1783，瑞士）是18世紀最著名的數學家歐拉主要是在俄國聖彼得堡科學院和德國柏林科學院工作，內容多是與軍事和其它實際應用相聯係的，因此取得了廣泛的成就。在他生活的時代已出現的數學和各個分支中，幾乎都留下了歐拉的痕跡。如變分法中的歐拉方程，複數中的歐拉公式，立體幾何中的歐拉定理，解析幾何中的歐拉角，極限中的歐拉常數，含參變量積分中的歐拉積分，常微分方程中的歐拉變換等等。歐拉在處理“哥德巴赫猜想”和“費爾瑪大定理”等問題，表現出實事求是光彩照人的科學態度。正是由於歐拉把哥德巴赫求教於他的信公布於世，並聲明自己無法證明這個問題，才使得“哥德巴赫猜想”成了世界著名的數學難題。
（四麵體的性質）四麵體作為最簡單、最基本的幾何體，了解它的性質是必要的。與四麵體係密切的多麵體是其外接平行六麵體（過四麵體三組對棱所作的三組平行平麵圍成的平行六麵體、通過外接平行六麵體，可以得出四麵體下麵的（1），性質。由反證法等，還可以得到下麵的等性質（2）四麵體各棱長的平方和等於三組對棱中點連線的平方和的四倍；四麵體四中線（連四麵體各頂點與其對麵重心的線段）交於一點，這點稱為四麵體的重心，重心分各中線從頂點算起的兩部分之比為3：1。
任何一個四麵體總有一個端點，從這個端點發出的三條棱為三邊可以作成一個三角形；除四麵體外，不存在任何一種凸多麵體，它的每一個頂點和所有其餘的頂點之間都有棱相連接；若四麵體四個麵的麵積相等，則四麵體的對棱分別相等（對棱分別相等的四麵體稱為等腰四麵體或等麵四麵體）；若四麵體的外接球球心與內切球球心重合，則四麵體的對棱分別相等；若四麵體的兩組對棱互相垂直（有兩組對棱互相垂直的四麵體稱為重心四麵體或正交四麵體），則第三組對棱也互相垂直；若四麵體的兩組對棱互相垂直，則三組對棱中點連線（段）都相等。
（擬柱體）所有的頂點都在兩個平行平麵內的多麵體叫擬柱體。它在這兩個平麵內的麵叫做擬柱體的底麵，其餘各麵叫做擬柱體的側麵。兩底麵之間的距離叫做擬柱體的高，顯然，擬柱體的側麵是三角形、梯形或平行四邊形。
兩底麵是矩形，並且它們的對應邊平行，這樣的擬柱體叫做長方台。下底麵是梯形或平行四邊形，上底麵變成了與下底麵的平行邊平行的線段，這樣的擬柱體叫做楔體。
棱柱、棱錐、棱台都是特殊的擬柱體。
（棱柱）有兩個麵互相平行，其餘各麵都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些麵所圍成的幾何體叫做棱柱，兩個互相平行的麵叫做棱柱的底麵，其餘各麵叫做棱柱的側麵兩個側麵的公共邊叫做棱柱的側棱，側麵與底麵的公共頂點叫做棱柱的頂點，不在同一個麵上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線，兩個底麵間的距離叫做棱柱的高。
（棱柱的分類）分類標準不同，有一種按側棱與底麵成垂直與否分類，另一種按底麵多邊形的邊數分類。
說明：四棱柱中，底麵是平行四邊形的四棱柱叫做平行六麵體。側棱與底麵垂直的平行六麵體叫做直平行六麵體底麵是矩形的直平行六麵體叫做長方體。棱長都相等的長方體叫做正方體。
（棱柱的性質）棱柱的主要性質如下：
棱柱的側棱相等，側麵是平行四邊形；
平行於底麵的截麵與兩底麵是全等的多邊形；
過不相鄰的兩條側棱的截麵是平行四邊形；
（平行六麵體的性質）平行六麵體的主要性質如下：
六個麵都是平行四邊形，相對的兩個麵平行且相等；
四條對角線交於一點且被這點平分；
各對角線的平方和等於它的各條棱的平方和。
說明：請讀者與平麵幾何中平行四邊形的性質進行比較，發現相似處。
（長方體的性質）長方體有如下一些性質：
長方體的任意一條對角線的長的平方，等於一個頂點上三條棱長的平方和；
長方體的一條對角線同過這條對角線一端的三條棱的交角餘弦的平方和為1；
長方體的一條對角線同過這條對角線一端的三個麵所成的角的餘弦的平方和；
說明：為了計算中看清直觀圖中某部分的數量關係和位置關係，常常把這部分單獨畫出來。本題中的輔助圖形，讓我們很容易地利用平麵幾何知識，求出所要的結果。
（正方體的性質）正方體的六個麵是全等的正方形。正方體有立體幾何的百寶箱之譽，通過正方體可以編選出包括第一章立體幾何理論的基礎部分的全部內容的題目。
（棱柱的側麵積）把棱柱的側麵沿一條側棱剪開後展在一個平麵上，展開圖的麵積就是棱柱的側麵積。
（棱錐）有一個麵是多邊形，其餘各麵是有一個公共頂點的三角形，由這些麵所圍成的幾何體叫做棱錐。這個多邊形叫做棱錐的底麵，其餘各麵叫做棱錐的側麵相鄰側麵的公共邊叫做棱錐的側棱，各側麵的公共頂點叫做棱錐的頂點，頂點到底麵的距離叫做棱錐的高。
（棱錐的性質）棱錐有下麵一些性質：棱錐的對角麵（過棱錐不相鄰的兩條側棱的截麵）是三角形；
如果棱錐被平行於底麵的平麵所截，那麼側棱和高被這個截麵分成成比例線段；截麵和底麵相似，並且它們麵積的比等於截得的棱錐的高和已知棱錐的高的平方比射影。
請讀者自己完成證明。
說明：立體幾何作圖題和平麵幾何作圖題的不同之處主要是三點。一是立體幾何中隻著重敘述作圖方法步驟及理由，不可能和平麵幾何一樣作出完全符合實際的圖形，作出來的隻是示意圖，二是立體幾何中作圖工具也隻有直尺、圓規，作平麵、圓柱、球等並沒有新工具，隻要具備確定平麵、圓柱、球等的條件，即認為該空間圖形可作，作示意圖說說而已。三是立體幾何作圖中的關鍵是確定直線和平麵的位置，而平麵幾何作圖中的關鍵是確定點和直線的位置。