（對數不等式）在真數中含有未知數的不等式叫做對數不等式。對數不等式解法的主要思想基本上與指數不等式解法的思想一致，即在同底的條件下，利用對數函數的增減性轉化為代數不等式來解所不同的是對數不等式要在使對數不等式有意義的條件下求不等式的解，因此對數不等式往往轉化為不等式組來求解。
（絕對值不等式）含有絕對值符號的不等式叫做絕對值不等式。絕對值符號中含有未知數的不等式解法的主要思想，是利用絕對值的定義轉化為不含絕對值的不等式來解為了解題方便，經常直接利用與絕對值不等式等價的不含絕對值的不等式來解。
（二十一）數列和數學歸納法
（數列）按一定規律排列著一列數，叫做數列。數列中的每一個數，叫做數列的項，第一個數就是第一項。
（數列的表示法）列表法，即將數列各項一一列出來：平麵直角坐標係內，橫坐標取自然數及與其對應的縱坐標所組成的點列便構成一個數列。
（數列的通項公式）如果一個數列的第二項與項數之間的函數關係可以用一個公式來表示時，我們把這個公式叫做這個數列的通項公式。
（有窮數列）如果在某一項的後麵不再有任何項，這個數列叫做有窮數列（即項數有限）。
（無窮數列）如果在任何一項的後麵都有跟隨著的項。
（遞增數列）一個數列，如果從第二項起，第一項都大於它前麵的一項這樣的數列叫做遞增數列。
（遞減數列）一個數列，如果從第二項起，每一項都小於它前麵的一項（即知這樣的數列叫做遞減數列。
（單調數列）遞增數列和遞減數列統稱為單調數列。
（擺動數列）一個數列，如果從第二項起，有些項大於它的前一項，有些項小於它的前一項，這樣的數列叫做擺動數列。
（常數列）一個數列，如果它的每一項都相等，這個數列叫做常數列。
（有界數列）存在一個正數，對於數列中任何一項，都小於此正數，則稱此數列為有界數列。
（無界數列）一個數列，對於任意一個正數，數列中總存在一個值大於正數，則稱這個數列為無界數列。
說明：①有窮數列和無窮數列，遞增數列和遞減數列，單調擺動數列和擺動數列，有界數列和無界數列等是從不同的角度對數列進行分類的方法。考察一個數列的類型，也應從幾個角度分別予以考慮。
（等差數列）一個數列，從第二項起每一項減去它前一項所得的差都等於某一個常數，這個數列叫做等差數列。這個常數叫做這個等差數列的公差。
（等差數列的通項公式）第一項和公差，為項數通項公式的得出，可以根據等差數列的定義，歸納出來，並用數學歸納法給予證明。
（等差數列的基本性質）有窮等差數列，距首、末兩項距離等遠的兩項之和均相等，且都等於首末兩項之和。
（等比數列）一個數列，從第二項起，每一項與其前一項的比都等於一個常數，這個數列叫做等比數列，這個常數叫做這個等比數列的公比顯然等比數列的各項都不能是零。
（一般數列的求和方法）直接求和，如等差數列和等比數列均可直接求和。
部分求和法將一個數列分成兩個可直接求和的數列。
（數列的遞推式）表示數列相鄰幾項的關係式叫遞推式，一個數列可以由其通項公式來確定，也可以由數列的初始條件及遞推式來確定。
（演繹法）如果一般的命題是已經證明了的，或者是未經證明而作為真理用的，那麼以這個一般命題推出的每一個特殊命題也就是正確的。像這樣由一般到特殊的推理方法，通常稱為演繹推理或者演備法。
（歸納法）先考察一些特殊的事例，然後分析它們共同具有的特征，作出一般的結論。像這樣由特殊到一般的推理方法通常稱為歸納推理，或者歸納法。
（不完全歸納法）可能導致錯誤結論的歸納法，叫做不完全歸納法。
（完全歸納法）作為結論依據的觀察，如果包含了規律所涉及的一切現象，這種歸納法叫做完全歸納法由完全歸納所得出的結論是可靠的。
（數學歸納法）是完全歸納法它是一種歸納演繹的推理方法。
數學歸納法的理論依據是“自然數歸納原理”。
（二十二）行列式和線性方程組
（三階行列式）將九個數排成三行（橫排）和三列（豎排），並在其兩旁各加一條豎線，就構成一個三階行列式圖中實線上三個元素之積、添上正號；虛線上三個元素之積，添上負號。就得到三階行列式的展開式。
（三階行列式的性質）三階行列式有如下一些性質，把行列式的行變為相應的列，所得行列式與原行列式相等。
把行列式的兩行（或兩列）對調。所得行列式與原行列式絕對值相等，符號相反（即互為相反數）。
由此性質可以得出，如果行列式中有兩行（或兩列）的對應元素相同，那麼行列式的值為零。
把行列式的某一行（或一列）的所有元素同乘以1等於用數是乘原行列式。
利用此性質可將某一行（或一列）的公因子，提到行列式的外麵；如果行列式某一行（或一列）的所有元素都是零，那麼行列式值為零；
如果行列式某兩行（或兩列）的對應元素成比例，那麼行列式等於零；
如果行列式的某一行（或一列）的元素都是二項式，那麼這個行列式等於把這些二項式各取一項作成相應行（或列）而其餘行（或列）不變的兩個行列式的和。
把行列式某一行（或一列）的所有元素同乘以一個數加到另-行（或另一列）的對應元素上，所得行列式與原行列式相等。
掌握並靈活運用這些性質，便能正確、迅速地化簡和計算行列式，而不一定非用對角線展開法則來進行。
（子行列式（餘子式））把行列式裏某一元素所在的行和列劃去後，剩餘的元素按原行列順序排列組成的行列式，叫做原行列式中對應於這個元素的子行列式或稱餘子式。
（代數餘子式）設行列式中某一元素位於第一行。
（按一行（或一列）展開行列式法則）行列式等於它的任意一行（或一列）的所有元素與它們各自對應的代數餘子式的乘積的和。
（線性方程組）由若幹個一次方程組成的方程組叫做線性方程組其中未知數稱為元，如二元一次方程組、三元一次方程組。
（方程組的初等變換）在解題過程中，隻對方程組進行以下三種變形：用一個非零常數乘某一個方程；用一個數乘某一個方程、加到另一個方程上去；兩個方程互換。
這三種變形叫做方程組的初等變換方程組經過初等變換，隻改變其形式，而不改變方程組的解。
“加減消元法”，正是利用這種初等變換解方程組的方法。
在對線性方程組進行初等變換過程中，隻有方程組的係數參與了運算，而未知數不參與運算利用方程組的初等變形，可以采取順序消元法解線性方程組、其過程更可以用矩陣的初等變換來表示。
（矩陣的行的初等變換）對矩陣進行下列三種變形：用一個非零常數乘矩陣某一行的所有元素；用一個數乘矩陣某一行的所有元素，然後加到另一行的對應元素上去，兩行互換。
這三種變形叫做矩陣的行的初等變形。
（高斯消去法）在線性方程組的係數行列式不為零的條件下，通過矩陣行的初等變換，將線性方程組的係數矩陣的每一行變形為隻有一個元素1，其餘都是零，而取值為1的元素又各在不同的列，即可得出方程組的解，這個過程就是將未知數按照一定的順序逐步消元的方法，即高斯消去法。
（二十三）複數
（數的概念擴充的原則）新舊元素在一起構成新的數集。在新的數集裏，定義一些基本關係和運算，使原有的一些主要性質（如運算定律）仍舊能夠適用舊元素作為新的數集裏的元素，原有的運算關係仍然保持。新的數集解決了舊的數集所不能解決的矛盾。
例說明由非負有理數集，擴充到有理數集是遵循了數的概念擴充的原則。
答①由非負有理數集添加負數後，擴充到有理數集，因此新數集增添了新元素。
②非負有理數集中的所有元素與新增添的所有負數合在一起構成了有理數集。在有理數集中我們對兩個有理數的相等和不等作了規定（兩個負數如果它們的絕對值相等，就算作是相等的數；每一負數都小於零，也小於任意的正數；在兩個負數裏，絕對值大的那一個數較小，絕對值小的那一個數較大），在這一規定下，非負有理數集的順序律仍能適用。我們還規定了有理數集中加、減、乘、除的運算法則，在這一規定下，非負有理數集的運算律仍然適用。