——要正確運用歸納推理
請看一位著名數學家小時候的一則小故事：
卡爾·弗裏德裏希·高斯（1777年——1855年）是德國著名的數學家。在他10歲的那一年，有一天上算術課，老師給高斯所在班的學生出了一道算術題。這道算術題是：
1+2+3……+98+99+100=？
老師想，要加這麼多數字可得費些勁呀，而且稍不細心，就會出錯。但是，事出意料，老師剛把題目說完，小高斯就舉起手來，隨口報出這道題的答案：5050。
當時，同學們怔住了，用驚奇和懷疑的目光看著小高斯。隻有老師心裏明白，這個答案是正確的。
老師請高斯給同學說說他是怎樣算出來的。高斯告訴大家，他發現1到100這一百個數，有一個特點，那就是：依次把頭尾兩個數加起來都等於101，而這樣的數剛好有50對。因此，這一百個數的總和就是101×50=5050。
小高斯運用什麼推理形式計算出來的呢？他運用的就是歸納推理。
什麼是歸納推理
什麼是歸納推理呢？
歸納推理是從個別知識的前提推出一般知識的結論的推理。例如：
（1）不等邊三角形三內角的和等於180°，
等腰三角形三內角的和等於180°，
等邊三角形三內角的和等於180°，
不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形是三角形的全部，
所以，三角形三內角的和等於180°
（2）地震前，
狗慌亂吠，
老鼠搬家，
牛馬驚跑，
雞鴨亂飛，
所以，地震是有前兆的。
歸納推理的前提可以是反映一個較結論小的一類事物情況的判斷，如例（1）；也可以是反映個別事物情況的判斷，如例（2）。前提的數量可以是兩個，也可以是許多個。
以考察的對象是全部或者部分作為根據來劃分，歸納推理可以分為完全歸納推理和不完全歸納推理兩種。
完全歸納推理
什麼是完全歸納推理呢？
完全歸納推理是考察了一類對象的每一個對以後，對這類對象作出的一般性的結論的推理。
本篇開頭故事中小高斯算算術題所用的歸納推理就屬於完全歸納推理。他從1+100=101，2+99=101，3+98=101，逐個考察到50+51=101，已知被考察的50對數的和都是101，從而推出1+2+3……+98+99+100=5050這一結論。
上麵“什麼是歸納推理”中的例（1）也是完全歸納推理。因為對三角形的每一個對象都考察過了，從而得出“三角形三內角的和等於180”°的結論。
完全歸納推理的優點是：隻要前提真實，考察的對象一個不漏，那結論是完全可靠的。因此，人們在工作、科學研究和日常生活中，如果有必要而且有可能時，那是經常運用這種推理形式的。
完全歸納推理的局限性是：結論沒有超出前提的範圍，所以認識有限；在許多場合下，不便使用，甚至不可能使用，考察的對象有限時（如上例中對三角形的考察，對一百個數的考察）可以使用，考察的對象眾多時（如考察人口狀況、資源分布等）不好常用，考察的對象數量極多時（如全世界飛禽走獸數量、沙子情況等）無法使用。
有時，一類事物的分子雖然不太多，可以逐個考察，但沒有必要逐個考察時，不能運用完全歸納推理。
請看一則笑話：
爺爺：“明明，火柴買來了嗎？”
明明：“買來了，爺爺。”
爺爺：“火柴好劃嗎？”
明明：“每根都好劃，一劃就著，我一根一根都試過了。”
在這則笑話中，明明把每根火柴都考察過了，但每根火柴也就沒有用處了，爺爺叫明明買火柴的目的也就達不到了。
不完全歸納推理
什麼是不完全歸納推理呢？
不完全歸納推理是考察了一類對象的部分對象以後，對這類對象作出的般性結論的推理。
不完全歸納推理又可以分為簡單枚舉歸納推理和科學歸納推理。
簡單枚舉歸納推理是根據某種事例的多次重複出現而又未發現相反的情況，從而得出一般性結論的推理。
請看一則故事：
有個患頭痛病的樵夫上山砍柴，一次不小心碰破了腳趾頭，出了一點血，但頭卻不痛了。當時他沒有注意。後來頭痛病複發，又偶然碰破原處，頭疼又好了。這次引起樵夫的注意了，以後頭疼病一發作，他就有意地刺破這個腳趾頭，每次都很靈驗。
這個樵夫所刺破的地方，就是現在針灸穴位中的“大敦穴”。為什麼這個樵夫在以後頭疼時就想到要刺破腳趾頭呢？這是因為他根據自己幾次的個別經驗，即第一次碰破這個腳趾頭，頭痛好了，第二次碰破這個腳趾頭，頭疼又好了，並沒有遇到相反的情況，於是他就作出了一般性的結論：碰破這個腳趾頭就能治好頭痛。這個樵夫所運用的推理形式，就是簡單枚舉歸納推理。
簡單枚舉歸納推理的根據是：一些同類事物的重複出現，並沒有出現相反事例的情況。這個根據對於推出一般性結論來說，雖然是必要的，但卻不是充分的。因此，簡單枚舉歸納推理的結論帶有或然性。結論可能進一步得到證實，也可能由於新事實的出現而被推翻。
因此，在運用簡單枚舉歸納推理時應注意以下幾點：
第一、要廣泛地枚舉，一般地說，考察的對象愈多，結論的可靠性也就愈大。
明朝劉元卿編的《應諧錄》中，講了一個笑話：
有個土財主，幾代人都不識字。有一天，土財主決心讓兒子念書，於是請了一位老先生教他兒子識字。這位老先生寫下一畫，對這個小孩說，這是一字，寫下二畫，對這個小孩說，這是二字，寫下三畫，對這個小孩說，這是三字。這個小孩學會這三個字以後，得意地對他父親說：“我全會了，可以把先生辭掉了。”土財主很高興，把先生辭退了。過了幾天，土財主要請客，請帖是印好的，隻需填個姓。這位客人姓萬。小兒子從早寫到中午還沒寫完，土財主就去催兒子快寫。他兒子抱怨說：“天下的姓多得很，為什麼你這位朋友偏要姓萬？害得我從早到現在才完成五百畫。”