我們在前麵已經提到，在一段不長的時間內，計算機有了驚人的迅速發展。但有一個方麵的發展是令人失望的，那就是“人工智能”這一領域。在這一領域中這些年來有過不少種誠實而不著邊際的夢想提出的機器模仿人的遊戲），而也有過不少種不誠實而不著邊際的主張，一方麵需要鼓勵人們對於難度大的新的研究項目進行嚴肅認真又大膽的探索，另一方麵需要防止出現欺騙現象，並將人力物力不必要的浪費減少到最低限度；要在這兩者之間保持平衡是不容易的作者還對自動機理論近年的有些發展，作了如下評論：
“我們常常能夠在一些邊緣領域得出令人感興趣的新發現，因為所說的邊緣領域就是未經充分研究的比較新的領域。但在這裏有一種人們熟知的危險。例如，目前已有大量的文章是討論計算機的理想化模型的相當任意的變種的。這些概念和結果的大部分既不是令人感興趣的數學成果，也並不與實際計算機有多大關係。但這種文章的作者卻能夠對理論工作者說，他們是在從事實際工作，而對實際工作者說，他們是在從事理論工作”。
作者在第三章最後一節中，講述了定理的機器證明，並簡單介紹了他自己在這方麵做出的開創性的工作。作者在50年代末寫出了程序並用它在一台速度不高的機器上，用了不到九分鍾的時間，證明了羅素等人所著《數學原理》一書中一階邏輯部分的全部定理共350條。作者還對定理的機器證明提出了下列的見解：
我過去和現在都認為，為了在一個特定的數學分支中證明定理，我們必須特別注意這個分支所特有的東西。例如在處理數論問題時，我們必須特別注意數學歸納法。可能采用這樣的方式，即假定對於特征的全稱命題有一個最小的反例，然後從這一假定設法推矛盾。
在第四章“問題與解”這一章中，作者對數學中一些已解決和尚未解決的重大問題作了討論。在《數理邏輯中的問題》一節中，作者有一段精辟和扼要的話，他說：“在每門學科中都有大量的問題，它們也許具有鮮明的形式，也許沒有，但它們的解決或部分解決將影響這一學科中的廣闊領域。例如，連續統問題和試圖找到在關鍵方麵與可構成集類似但允許更大基數的結構，看來將是集合論的中心問題。人們渴望進一步發展模型論，使得突出的特殊模型構造，比如那些能給出強的獨立性結果的模型構造，將在一般理論中找到它們的自然的地位。想找到方法證明熟知的數學命題在數論形式係統或其他係統中為不可判定命題的期望自1931年以來刺激了許多嚐試。有一個關於計算和證明的複雜性的領域，好久以來就已遇到，但直到最近才得到廣泛的注意。一個突出的特殊問題是決定有沒有一種快速的一般方法可以用來判定一個給定的命題演算公式（或布爾表達式）是否是重言式。現在既不知道是否有一種能在多項式時間內實現的方法，出不知道是否沒有能在二次時間內實現的方法”。
在講述一階邏輯的第五章中作者討論了一階邏輯的判定問題，並介紹了作者自己在這方麵的重要貢獻。判定問題就是要尋找一個一般的方法，按照這個方法，對於任意給定的邏輯模式，我們都可以判定它是否是可滿足的。這個一般問題已知是不可解的。
作者在1961年證明，具有下列較簡單形式的邏輯模式:而言，判定問題已經是不可解的。他為了要解決這一問題而建立的一種數學理論，即鋪磚問題的理論（在本書附錄中有較詳細的敘述），已被發現是可以用到許多領域的理論。
作者在這一章中，還對模型論以及其他邏輯作了扼要的介紹。
本書第六章是關於計算理論的。可計算性可分為理論可計算性，實際可計算性。後者有時稱作可行性。這裏所說的“實際可計算”是指在計算機上可計算。我們現在知道，在理論可計算的函數之中，隻有很小一部分是實際可計算的。前些年曾有人作了一項估計，發現一項步的計算在一台每秒能進行一百萬步計算的計算機上，需時三萬六千年(圍棋總局數）步的計算就是理論可計算而實際上不可計算的。
可計算性理論是以理論可計算性為其研究對象，而從可計算性理論派生出來的計算複雜性理論則是以實際可計算性為其研究對象的。本章重點介紹了計算複雜性理論的基本概念和中心問題。
計算複雜性理論的中心問題之一是這個問題是問：在計算時間多項式有界條件下，確定性的計算機的解題能力是否和非確定的計算機一樣強。這是一個至今未解決的問題。目前有些研究作者猜測答案是定的，也有些人猜測答案是肯定的。作者在中期曾對這一問題的研究取得重要進展。
作者在本章中還對實際可計算性（即可行性）的刻畫進行了討論，提出重要的見解。作者說：“如前麵指出的那樣，現在甚至還不知道重言式問題是否不能在二次的時間內判定。多項式時間如此令人發生興趣是可以理解的。因為這裏有一個自然的範圍，它對許多運算是封閉的，因此容易處理。具有很高次數的多項式是否可作為可行計算，這是可能懷疑的.而且在一般情況下，當我們確實找到了所需時間的多項式，我們實際上隻需要的多項式界。
第八章論述了證明論與隻方案、構造主義與決定性公理等（決定性公理因其與大基數有關，70年代以來，係集合論的中心課題之一附錄三章對“骨牌遊戲”（即“鋪磚問題”）、算法及抽象機等作了較詳細的闡述。