數學中的邏輯問題有兩類，一類是關於證明的，另一類是關於計算的；前一類的如公理方法問題，後一類的如算法問題。一百年來數理邏輯的研究成果大部分是屬於前一類的，特別是關於公理係統的研究有了富的成果，這方麵的研究又分為語法的與語言的，前者構成證明論，後者構成模型論一個公理係統的模型就是它的解釋。
本世紀30年代以來產生了計算機的理論，即可計算性理論（又稱為可計算函數論、遞歸函數論、或遞歸論在當時這一理論主要是作為證明論的理論而發展起來的。近二十年來，在計算機的影響下，出現了以研究計算本身的性質為目的的理論。在目前，這還不構成數理邏輯發展的主流，但隨著計算技術的發展，這一方向可能將變得越來越重要。
另外，公理化集合論可看作它的一支。
狹義的數理邏輯僅指邏輯演算。廣義的則包括數學基礎，也就是包括下列幾種數學理論：證明論，模塑論，遞歸論公理集合論。
近幾十年又產生了好幾種新的邏輯演算，如多值邏輯（模態邏輯就是一種多值邏輯）與構造性邏輯等。其中構造性邏輯和應用這種邏輯的構造性數學近年有較大發展。這顯然與計算機的影響有關，例如有的數學工作者提出，構造性數學可以看作是比語言高一級的程序設計語言；但不是象人60那樣的過程語言，而是一種非過程語言。
數理邏輯新發展的特點之一是在計算機的影響下，產生了一些以研究計算的性質為目的的理論。除了上麵提到的構造性邏輯以外，還有以下幾種：
自動機理論與形式語言理論這是關於計算機及其程序語言的數學理論，其中包括了在電子計算機產生以前已經出現機器理論。
關於機器證明的理論研究60年代中期有人提出，為了提高機器證明的效率需要發展一種“麵向機器邏輯”。近幾年有一些人在從事這方麵的研究，尋找適於在機器上應用的效率較高的推理規則。但機器證明距離能夠證明非不足道的新定理尚遠，更不用說數學難題了。
以上這些研究方向，可以看作是理論計算機科學的組成部分；但也可以看作是應用數學，即應用的數理邏輯。
需要指出，在這些理論中，有些雖然在表麵上與計算機有關係，而由於過於抽象，而且所研究的問題常常不是實際設計中提出來的問題，因之盡管已發表了幾百篇以至上千篇論文，而在實際工作中真正有用的卻寥寥無幾，前幾年有人曾在一次國際計算機會議上，作了一篇題目叫做“計算機科學的危險”的講演，他說有的關於計算機的理論表麵上與計算機有關係，而實際上關係不大，從事實際工作的人對之不感興趣。
近十年中，相對地來說，公理化集合論和可計算性理論發展較快。我們在下麵兩節將對這兩個分支中的一些新發展作簡單介紹，並指出其哲學卜.的意義。關於在計算技術中可能有的應用，將在下一次介紹。
集合論是關於集合的數學理論。集合就是類。木在數學中還有其他分支也研究類的性質。集合論主要是研究含有無窮多個分子的類的性質的，也就是以無窮集合的性質為其研究對象的。
集合論是為了要弄清函數的定義而產生的，而這一問題是與數學在熱力學中的應用有關的。至今已有-百年的曆史。人們發現，集合論在一定意義上構成其他數學分支的基礎。
在數學中關於無窮集合以及無窮數的研究是從集合論開始的。而為要研究無窮數.先要有一個比較兩個無窮數的方法。提出了通過對應來證明兩個無窮集相等的方法。利用這一方法可以發現，全部整數的數目是和自然數的數目一樣多，因為在整數集合和自然數集合之間可以建立起一種對應關係。這是與有窮集合大不相同的。就有窮集合而言，全體大於部分，而就無窮集合而言，則有時全體可以等於部分。
用這一方法可以證明，全部實數的數目或0與1之間的小數的數目（二者實際上是相等的）大於自然數的數目。證明的方法如下。
設0與1之間的小數的數目與自然數的數目相等，則將有一種方法建立兩者間的一一對應關係。設0與1之間的小數可以全部枚舉如下：我們現在構造無盡小數使得它的第一位。與之間的小數構成的集合是一個不可數的無窮集合，而自然數的集合則是一個可數集合。這說明無窮集合有兩種，種是可數的，一種是不可數的；0與1之間的小數構成的集合就是後一種的一個例子。