最近這方麵有了重要進展，在提出的一條關於集合存在的新法則的基礎上建立了一個新的公理係統他稱之為81係統，他在這個係統中證明了可測基數的存在性，這一結果在集合論工作者中間引起了很大注意。
本文分兩部分，即幾個重要的集合論命題的獨立性；幾條集合存在的法則。
幾個集合論命題的獨立性問題
本文評述十五年來集合論的新發展，而側重於近幾年來新提出來的一兩個新係統。在陳述這些新結果之前，我們將對公理集合論的發展史作簡單的回顧。
現在公理集合論的研究中經常討論到的係統有兩個，一個是係統（簡稱21）這是經過改進了的26係統主要是增加了一條公理以及使研究對象不包含個體，僅限於集合另一個是係統這是經過改進的86係統。這兩個係統的公理直觀上比較清楚，前者更自然一些。
集合論的公理首先是為了解決“俘論”問題，這是人所熟知的事實。當時的集合論工作者認為，一組集合論公理必須滿足下列兩條件，即能夠從這一組公理推出直觀集合論中的絕大部分定理，保證排除已知的“悖論”。
關於“悖論”，認為，建立的直觀集合論中所以會出現“悖論”，是閃為在這一理論中有一些“過於臣大的集合”一切集合構成的集合那樣的集,的出現與集合論中含有下列法則有關，這條法則說性質決定一個集合他們認為，如果通過公理對可能存在的範圍加以限製，就可以排除那些“過於人的集含”從而保證已知的“悖論”不會出現。
他們來限製集合的範圍的方法是使一些有關集合存在的公理都具有下列形式：在一個（或幾個）給定的集合上施加某種運算（如形成集合的並之類的運算得到的結果是一個集合。這樣，這一公理係統中存在的集合將限於一些給定的集合和由原來給定的集合通過集合的運算得出來的集合。如果選擇一個其客觀存在性一致引起疑問的集合（如自然數集合）作為出發點，那麼就可以排除已知的“悖論。
這些公理之中，公理是關於集合的相等的意義的。公理2斷定空集存在。公理3和公理4分別是關於無序偶和並集存在的公理。公理5斷定無窮集合存在。建議增加的。在證明直觀集合論中的有集合的存在性時，需要用到這一公理。公理7斷定一個集合的集的存在。
公理8是一條在數學史上有爭論的公理。對於這條公理有三種不同意見：認為有選擇是允許的，而無窮次選擇是不允許的；認為可數無窮多次的選擇是允許的，而不可數無窮多次的選擇是不允許的；認為任意多次的選擇都是允許的。
目前的情況是，已經證明，選擇公理對於其它幾條公理而言是獨立的。這條公理是重要的。因為集合論以及數學分析.等分支的許多定理的證明要用到它。
關於矛盾性問題，根據完備性定理，它的無矛盾性在是不能證明的。近年來曾研究了關於集合論的公理係統的層次。他指出在26的公理上不斷地加上一些適當的公理，可以得到集合論的公理係統的一個無窮序列在這個序列中的每一個係統和無矛盾性都可以在係統中加以證明。
由於替換公理是一個公理圖式，等於無窮條公理，是一個有窮多條公理的係統。
這個係統相比下列幾個特點：公理所定義的集合的範圍看來沒有達到可以達到的限度，而所定義的集合範圍如果我們不考慮不可及數，看來已達到可能達到的限度，一種是可以成為別的類的元素的，這種的類就足集合，另一種是不能成為別的類的元素。