阿裏當然知道自己的錢包裏有多少錢，但不知道巴巴的，他想：對方要麼是我的１／２，要麼是我的２倍，如果是前者，那麼我損失了一半；如果是後者，那麼我增加了一倍，一倍的收益大於一半的損失，所以這個賭是劃算的。巴巴也是這樣想，於是兩個人都願意打這個賭。
現在我們用數字更詳細說明一下兩人的判斷：比如，阿裏錢包裏裝的是１０元（於是他估計他要麼得到５元，要麼得到２０元，前者損失了５元，後者得到１０元，也就是說，在對等情況下，他的收益比損失多５元）。我們知道，如果你和某人玩猜硬幣，正麵朝上輸１元，背麵朝上贏２元，這個賭應該打，因為哪一麵朝上的幾率相同，而收益大大多於損失，如果多玩幾次，你的所得肯定大於所失。隻是恐怕沒有人願意和你這樣玩。
這裏出了問題：既然沒有人願意打一個必輸的賭，那麼交換錢包為什麼卻是雙方自願的呢？雙方交換錢包，不可能使他們的結果都有所改善，因為用來分配的錢不可能交換一下就變多了。推理過程在哪出了錯呢？阿裏和巴巴是否都應該提出交換呢？阿裏或巴巴是否有一方應該提出交換呢？
信息與理性
假如阿裏和巴巴都是理性的，而且估計對方也是這樣，那就永遠不會發生交換的事情。這一推理過程的問題在於它假設對方交換錢包的意願不會泄露任何信息。我們通過進一步考察一方對另一方思維過程的看法，就能解決這個問題。首先，我們從阿裏的角度思考巴巴的思維過程。然後，我們從巴巴的角度想像阿裏可能怎樣看待他。最後，我們回到阿裏的角度，考察他怎樣看待巴巴怎樣看待對自己的看法。其實，這聽上去比實際情況複雜多了。可是從這個例子看，每一步都不難理解。
假定阿裏知道自己的錢包裏有１６０元，多於一般水平（比如他裝這麼多錢是為了到飯館吃一頓大餐，或者要交納某項費用），在這種情況下，他知道他的數目比較大，而對方錢包裏裝著３２０元的可能性很小，也就不願加入交換。既然阿裏在１６０元的時候不願交換，巴巴應該在他８０元的時候拒絕交換，因為阿裏惟一願意跟他交換的前提是阿裏隻有４０元，若是這種情況，巴巴一定更想保住自己原來的８０元。不過，如果巴巴在８０元的時候不願交換，那麼阿裏就不該在４０元的時候交換錢包，因為交換隻會在巴巴隻有２０元的前提下發生。
如果雙方掌握了信息（一個人的錢包裏一般情況下裝多少錢），就會作出理性的決策。可是這是否意味著這個悖論就此破滅了呢？
換還是不換
看來，問題的答案在這兩個人對“錢包裏應該有多少錢”的常識性估計上，現在我們換一個故事，看看結果有什麼不同。
現在有兩個人，“酷斃”與“帥呆”，正在花園裏一邊喝著酒，一邊討論關於精靈的神話。正好有個精靈從此經過，被他們的對話吸引，精靈認為在這個時代，還有人這樣仰慕和了解他們值得鼓勵，於是便決定給這兩個人一點獎賞。於是，他把一筆錢放入兩個信封，將信封分給“酷斃”與“帥呆”，出於喜歡惡作劇的個性，精靈透露，這兩個信封裏金額不同，其中一個是另一個的兩倍，但他沒有說哪個多哪個少。然後精靈隨著一縷輕煙消失無蹤。
在精靈消失後，兩個人拆開信封，偷看自己拿到的那筆錢，同時心裏忖度著，自己到底拿到多的那份？還是少的？
“酷斃”心想：這是筆意外之財，我拿到的數額已經很不錯了，如果這是多的那份，“帥呆”就隻有我的一半；不過，他也可能很走運，拿到我的兩倍。再回顧整個過程，精靈是先把錢裝好，密封之後才隨機發給我們，因此這是一個對等賭局，兩人拿到大份的幾率是一半一半。所以也許我應該跟“帥呆”談個交易，互相交換。既然我贏得一倍金額和損失一半金額的幾率都是５０％，則仍有期待淨利?穴參照上麵故事的邏輯?雪。根據決策原則，“酷斃”認為這對他相當有利，便決定和“帥呆”交換。即使“酷斃”沒有拆開信封也可以作出相同決定，因為支票的麵額並不影響整個思考邏輯。
“帥呆”以同樣的方式思考後，也認為與“酷斃”進行交易對自己較有利，於是當“酷斃”一提出交換的建議，“帥呆”馬上欣然允諾。兩人的情況完全一樣，都認為自己能遵從一定的邏輯推理規範。那麼，有沒有可能兩人同時都是對的呢？畢竟這是個零和遊戲，“酷斃”贏就等於“帥呆”輸，反之亦然，既然不能雙贏，就一定有人是錯的。但這兩人不都是經過縝密邏輯思考了嗎？
在競賽中，雙方都認為自己會贏，這在邏輯上當然站得住腳，在運動場上、戀愛或戰爭的情境裏也都很常見。但在這個例子裏，競賽雙方都很理性，這也就是悖論的所在。
邏輯中隱藏陷阱
你可能會問：這兩個故事不是一樣嗎，何必要再講一遍？
真的一樣嗎？想一想前麵的例子是如何解決的？“救命稻草”是我們的生活經驗，可是在這個例子裏，沒有這根“稻草”：別忘了，“酷斃”和“帥呆”對精靈的財富總量和慷慨程度完全沒有概念，兩人惟一的信息是自己手中信封的金額。這正是與前麵的故事的不同之處。誰也不知道精靈到底有多少錢，以及到底有多慷慨。即使你拿到了１個億，你也不知道到手的是不是多的那一份！
“酷斃”和“帥呆”兩人都犯了一個首要的錯誤，以為中大獎的幾率在拆開信封以前或之後完全沒有兩樣。由於精靈在分信之前充分洗過牌，因此兩人在拆開信封前得大獎的幾率確實是一半一半，但當兩人看過內容後，實在沒有道理假設他們仍認為自己拿到小額支票的幾率還是５０％。
這麼說吧，不論精靈的獎金是多少，ｌ０００元也好，１０億元也罷，他先把獎金分成不等的兩份，再充分洗過，“酷斃”拿到任何一個信封的機會都是５０％，到此都沒有問題。不過在兩人拆開信封查看後，情況就完全改觀。
所以如果“酷斃”打開信封並發現自己拿到１０萬元，就可以推論總獎金隻有兩種可能：如果“帥呆”拿到５萬，總數就是１５萬；如果“帥呆”拿到２０萬，總數就是３０萬，而他分到小包的。因此，“酷斃”要算的幾率不是究竟自己拿到的是大包還是小包?穴在信封發放前，機會應該是一半一半?雪，而是究竟精靈給的是１５萬還是３０萬，這可就是完全不同的選擇了。“酷斃”不應該還相信兩者出現幾率各是５０％。如果他認為精靈的財力或慷慨程度有限，那麼他應該設想最壞的狀況：精靈給的是１５萬，自己已得到較大筆的獎金，所以不該交換，這個結論跟他一開始的想法正好相反。
當然，“酷斃”也可以假設精靈非常富有，送出個１５萬、３０萬根本不算什麼。因此，兩種情況都有可能，所以結論和先前想法一致，他應該交換。
重點是“酷斃”不能不顧手中拿的是百萬還是更多，而做相同的假設，因為這裏談的是幾率，它的基本原則為所有可能選擇方案的幾率值加起來一定要等於ｌ，不論是“酷斃”、“帥呆”，還是精靈都不能改變這一點。所以不論金額多少，假設幾率都一樣，則其加總結果絕不會等於ｌ。因此，“酷斃”和“帥呆”如果要作出理性決策，就必須估計精靈的財富到底有多少、獎金總額又有多高：而誰根據手中的金額把獎金總額估算得越精確，就越可能作出是否交換的最佳決策。至於手中拿到小額獎金的人會比較傾向交換，這本來就是很合理的。
這裏要說明的是：談概率時一定要弄清楚比較的選擇方案究竟是什麼。在“酷斃”、“帥呆”拿到信封前，他們拿到大額獎金的幾率確實是各半，一旦信封發下來，原來的方案就消失，這時再談既定事物的概率完全沒有意義，也就是概率會隨事件的發展、選擇的改變或消失等而有所不同：在信封發下來後，應該考慮的方案就不再是誰拿到哪一個，而是精靈究竟給了多少。