有一次，希爾伯特在課堂上討論無窮大問題。在無窮大的世界裏，部分可能等於全部。對於這一點，許多學生表示不可思議。因此，希爾伯特舉了這麼一個有趣的例子：
“我們設想有一家旅店，旅店內設有有限個房間，而所有的房間都已客滿。這時來了一位新旅客，想訂個房間。旅店主人隻能抱歉地說：所有的房間全都住滿了。”
“再設想另外有一家旅店，有無限多個房間，所有的房間也都客滿了。這時也來了一位新旅客要訂房間。這時旅店主人就會說，沒有問題。”
“接著，他把1號房間裏的旅客移到2號，2號房間裏的旅客移到3號，3號移到4號……這樣一來，新來的旅客便可住進剛騰出來的1號房間。”講到這裏，大家漸漸有點明白了。隻聽希爾伯特接著又講了下去，“我們再設想一座有無限個房間的旅店，各個房間都住滿了。這時又來了無窮多位要訂房間的客人。這時，店主人把1號房間的旅客移到，2號房間，2號房間的旅客移到4號，3號移到6號……於是所有的單號房間都騰了出來，新來的無窮多個客人統統都住了進去。”故事講完，大家恍然大悟，原來無窮大數的性質與我們通常遇到的數性質不一樣。就這樣，希爾伯特用生動的語言把深奧的數學知識傳授給了學生。
同時，希爾伯特根據自己求學時代的切身體會，“利用課外討論班引導學生進行學習。在他組織的數學討論班上，學生可以自願參加，老師進行適當的指導。數學討論班定期進行報告活動，參加討論的人互相交流研究心得。不但學生感到收獲很大，而且希爾伯特自己也從學生那裏得到新的啟發。
1900年冬天，從瑞典來的青年數學家霍爾姆格林在希爾伯特的數學討論班上，報告了有關積分方程的最新進展，希爾伯特犀利的目光一眼看出了這個數學分支的價值和意義。他馬上組織數學討論班的學生們展開對這方麵的研究，很快地取得重大進展，形成了一個以青年數學家為主體的研究積分方程的國際學派。
希爾伯特常常把他的最新研究成果拿出來在討論班上報告。這樣，不但帶出了一批青年數學家，而且對希爾伯特本人的研究也很有幫助。他們逐漸形成了一個團體，希爾伯特是他們的統帥。一篇篇論文從這個討論班中出來，著名的“希爾伯特空間的算子譜理論”，就是討論班結出的碩果。這個理論成為海森堡和玻恩1925年建立量子力學的數學工具。1902年，克萊因為把閔可夫斯基調到哥廷根大學，專門為他設立了一個新的數學教授的席位。古老的哥廷根數學大師雲集，成為人們心目中的數學聖地。在20世紀初葉，世界各地學習數學的學生，都會得到他們的老師異口同聲的忠告：“到哥廷根去!”
一位日本數學家到哥廷根不久，在他給國內的一份報告中說：“我為這裏和柏林的截然不同而感到吃驚。這裏是來自世界各國的少壯派的集合，事實上，這裏是數學世界的中心。”寥寥幾句話，道出了哥廷根大學的盛況。
閔可夫斯基來到哥廷根後，希爾伯特增加了新的喜悅。人們可以看到，和在哥尼斯堡大學一樣，每天下午5點，這兩位好友準時到校園中散步。
希爾伯特善於吸引青年人投身到數學研究的行列中來。人們用一個歐洲的古老傳說來比喻希爾伯特，說他像一個吹著甜蜜蘆笛聲的吹笛人，誘惑著許多“老鼠”跟著他的笛聲投入數學的深河。確實，有不少青年僅僅因為聽了希爾伯特的幾堂課，或者看了他編著的幾本數學著作，便深深地被數學所吸引，把自己的寶貴青春乃至畢生精力獻給了神聖的數學科學。
20世紀著名的數學家赫爾曼“魏爾是這樣回憶他年輕時代所走過的道路的：魏爾18歲時從鄉下一所中學來到哥廷根，這一學期，希爾伯特正在講數論和“化圓為方”問題。魏爾慕名而去，同其他高年級學生一起聽希爾伯特的課。魏爾在回憶錄中寫道：“希爾伯特講的內容一直鑽進我的腦子。我在他的班上聽課沒有多久，就在我年輕的心中下了決心，我必須用一切辦法去閱讀和研究他所寫下的一切。”
第一學年結束時，魏爾帶著希爾伯特的數論報告-——《代數數域的理論》，回家度暑假。當時，他還沒有足夠的數論知識，他硬著頭皮讀了下去，“這幾個月是我一生最快樂的幾個月。”魏爾接著說，“經曆了我們共同分擔的疑慮和失敗的歲月後，它的光輝仍然撫慰著我的心靈。”就這樣，希爾伯特用他出色的講課和著作，把這個年輕的鄉下孩子引進了數學科學的神聖王國。
在希爾伯特的天性中，充滿了生活的熱情。他願意和其他人交往，尤其是同年輕人交朋友。他經常找自己的學生到哥廷根郊外的小樹林中去長時間地信步漫遊。遇到下雨天，他會帶著學生到花園葡萄架下邊走邊談。在這從不間斷的每天散步過程中，他一點一滴地把他的學識傳授給青年。經常同他一起散步的高年級學生和青年講師都深有感觸地說：“我們每次與他相聚，總能有真正的收獲。”
希爾伯特並不總以教育者自居，為了自己的科學創造，他覺得必須同青年們保持經常的密切的聯係。希爾伯特對於數學的巨大貢獻和深遠影響，除了他本人卓越的研究成果外，相當一部分還歸功於他教育和培養了一大批青年數學家，在這名單中，有布魯門薩爾、魏爾、貝奈斯、馮·諾依曼、諾貝爾物理學獎獲得者馮，勞厄、量子力學的創始人之一玻恩，等等。
這是一章多麼優美動聽的教育詩篇！它將同他的全部成果一起，永遠載入數學史冊。
1905年，匈牙利科學院宣布，要頒發一項以非歐幾何的創始人、匈牙利最偉大的數學家鮑耶命名的數學獎，獎金數額為10000金克朗。根據鮑耶獎的授獎規定，自1905年起每5年評選一次，受獎對象必須是在過去25年中為數學的進步做出最大貢獻的數學家，由歐洲各國最著名的數學家組成一個專門的評審委員會進行推薦和審議。