正文 第5章 資金的時間價值理論4(2 / 3)

【例1.7】某倉庫需大修才能繼續使用8年,且大修後出租的淨收入為每年20萬,設年利率為5%,問該次大修的工程預算需控製在多少為宜?

解:已知A=20,i=5%,n=8,求P。

由年金現值公式(1.14)P=A×(1+i)n-1i(1+i)n

得:P=A×(1+i)n-1i(1+i)n=20×(1+5%)8-15%(1+5%)8=20×6.4632=129.26(萬元)該次大修的工程預算需控製在129.26萬元以內。

2)資金回收公式(已知P,求A)。

其含義是指在期初一次投入資金數額為P,欲在n年內全部收回,則在利率為i的情況下,求每年年末應等額回收的資金,即已知P,i,n求A。

資金回收公式可由年金現值公式直接反算得出。由年金現值公式P=A×1-(1+i)-ni可知:A=P×i(1+i)n(1+i)n-1(1.15)公式A=P×i(1+i)n(1+i)n-1稱作資金回收公式,可表示為A=P×(A/P,i,n),式中係數i(1+i)n(1+i)n-1或(A/P,i,n)稱作資金回收係數。

由上述推導過程可知,資金回收係數是年金現值係數的倒數。資金回收係數是一個重要的係數。其含義是對應於工程方案的初始投資,在方案壽命期內每年至少要回收的金額。在工程方案經濟分析中,如果對應於單位投資的每年實際回收金額小於相應的預計資金回收金額,就表示在給定利率i的情況下,在方案的壽命期內不可能將全部投資收回。

【例1.8】某高速公路工程初始投資10億元,預計年投資收益率為10%,問每年年末至少要等額回收多少資金,才能在20年內將全部投資收回?

解:已知P=10,i=10%,n=20,求A。

由資金回收公式(1.15)可得,A=P×i(1+i)n(1+i)n-1=10×10%(1+10%)20(1+10%)20-1=10×0.1175=1.175(億元)即每年至少應等額回收1.175億元,才能將全部投資收回。

1.4.4變額支付序列的換算公式

每期收支數額不相同的現金,這種現金流量序列稱為變額現金流量序列。如果變額現金流無規律可循,則可對每一個現金流量應用複利公式F=P×(1+i)n或P=F×(1+i)-n分項計算後求和,然後可轉換為年金等使用;如果變額現金流量具有規律性變化特征,則可依照該規律推導將該現金流序列與現值、終值或年金的等值換算公式。這裏介紹等差和等比序列現金流序列的應用公式。

1)等差現金流量序列公式

所謂等差現金流量序列,即每期期末收支的現金流量序列是成等差變化的。

若令A1=A,公差為G,則每期期末現金支出可表示為:A1=A,A2=A+G,A3=A+2G,…,An=A+(n-1)G如果將現金流量圖劃分為兩部分:其一是值為A的年金,與其等值的終值用FA表示。另一部分是時點0和1的值為0,以後各時點的值以數值G逐個遞增,其等值終值的和用FG表示。若以F表示總額複利終值,則:F=FA+FG其中FA=A×(1+i)n-1iFG=G(1+i)n-2+2G(1+i)n-3+…+(n-2)G(1+i)+(n-1)G(1+i)0=G×(1+i)n-1-1i+(1+i)n-2-1i+…+(1+i)2-1i+(1+i)1-1i+(1+i)0-1i=Gi×[(1+i)n-1+(1+i)n-2+(1+i)n-3+(1+i)2+(1+i)1-(n-1)×1]=Gi×(1+i)n-1i-nGi即FG=Gi×(1+i)n-1i-nGi(1.16)公式(1.16)可表示為FG=G(F/G,i,n),式中係數1i×(1+i)n-1i-ni或(F/G,i,n)稱作等差終值係數。

所以,等差現金流量序列的終值公式為:F=FA+FG=A+Gi×(1+i)n-1i-nGi=A(F/A,i,n)+G(F/G,i,n)(1.17)上麵公式是等額遞增序列的等值換算公式,對於等額遞減序列(即A1=A,A2=A-G,A3=A-2G,…,An=A-(n-1)G)的情況,隻需將G變為負值代入公式(1.17)運算即可。

2)等比現金流量序列公式

等比現金流量序列,即每期期末發生的現金流量序列是成等比變化的。

則此現金流量序列的複利終值F可表示為:

F=A(1+i)n-1+Aq(1+i)n-2+Aq2(1+i)n-3+…+Aqn-2(1+i)+Aqn-1=A∑nk=1(1+i)n-1q1+ik-1=A×(1+i)n-1×1-q1+i1-q1+in=A×(1+i)n×1-q1+i1+i-qn(1.18)令q=1+s,則式(1.18)可變為F=A×1i-s(1+i)n1-1+s1+in(1.19)。

從列表中的公式中,可以清楚地看出各種係數之間的關係。在終值係數和現值係數之間,年金終值係數和償債基金係數之間,年金現值係數和資金回收係數之間,都存在著一種倒數關係,且在所有基本公式中,又以複利終值(或現值)公式為最基本的公式,其他公式都是在此基礎上經初等數學運算得到的。