工程項目的現金流是複雜多樣的,但隻需相對簡單的處理,就能將其轉化成現值、終值、年金或變額支付等形式或其幾種形式的組合。這幾種現金流之間的等值換算公式稱為等值換算的基本公式。
1.現值與終值的互算公式。
1)複利終值公式(已知P,求F)
假設在某一時間點上,有一筆資金P,計息期利率為i,複利計息,則在第一期末該筆資金的本利和F1=P×(1+i),第二期期末本利和F2=P×(1+i)+i×P(1+i)=P(1+i)2,依此類推,直至n期末的本利和F=P(1+i)n。所以F=P(1+i)n(1.10)該公式稱作一次支付複利公式,簡稱複利公式,其中:(1+i)n稱作一次支付複利係數,通常用符號(F/P,i,n)表示。所以公式(1.10)也可寫成F=P(F/P,i,n)圖1.2例1.3現金流量圖
【例1.3】某人購買某理財產品10萬元,4年到期後按複利年利率6%結算,計算該筆資金的實際結算價值。
解:已知P=10萬元,i=6%,n=4,求F。F=P×(1+i)4=10×(1+6%)4=12.6(萬元)即10萬元資金在年利率為6%時,經過四年後變為126萬元。
2)複利現值公式(已知F,求P)
即將某一時點(非零點)的資金價值換算成資金的現值(零點處的值)。
若F為已知,則由公式1.11可求出P。P=F1(1+i)n(1.11)公式(1.11)可以表示為:P=F(P/F,i,n),其中1(1+i)n及(P/F,i,n)稱作一次支付現值係數。
【例1.4】某小區計劃在10年末進行一次大修,工程預算為100萬元,銀行按年利率5%計息,問小區業主現在應存入銀行多少維修基金?
解:已知F=100,i=5%,n=10,求P,由公式(1.11)P=F1(1+i)n得:P=100×1/(1+5%)10=100×0.6139=61.39(萬元)即未來10年末的100萬元與現在61.39萬元是等值的。
2.終值與年金的互算公式
1)年金終值公式(已知A,求F)。
其含義是在一個時間序列中,在利率為i的情況下,連續在每個計息期的期末收入(支出)一筆等額的資金A,求n年後由各年的本利和累積而成的總額F,即已知A,i,n求F。類似於我們在儲蓄中的零存整取。
各期期末年金A相對於第n期期末的本利和可表示。
期數123…n-1n每期末年金AAA…AAn期末年金終值A(1+i)n-1A(1+i)n-2A(1+i)n-3…A(1+i)AF=A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+A(1+i)n-3+…+A(1+i)+A=A×(1+i)n-1i(1.12)公式F=A×(1+i)n-1i即為複利年金終值公式。
也可表示為F=A×(F/A,i,n)。其中(1+i)n-1i或(F/A,i,n)稱作年金複利終值係數,簡稱年金終值係數,或年金未來值係數。
【例1.5】某水利工程5年建成,每年末投資2000萬元,年利率為5%,求5年末的實際累計總投資額。
解:已知A=2000萬元,i=5%,n=5,求F。
由公式(1.12)可得:
F=A×(1+i)n-1i=2000×(1+5%)5-15%=2000×5.5256=11051.20(萬元)5年內的實際累計總投資為11051.20萬元,其中1051.20萬元為利息支出。
已知F,i,n求A現金流量圖。
2)償債基金公式(已知F,求A)
其含義是為了籌集未來n年後所需要的一筆資金,在利率為i的情況下,求每個計息期末應等額存入的資金額,即已知F,i,n求A,類似於我們日常商業活動中的分期付款業務。
由公式(1.12)F=A×(1+i)n-1i可得,A=F×i(1+i)n-1(1.13)公式(1.13)即為償債基金公式,可以表示為A=F×(A/F,i,n)。式中係數i(1+i)n-1或(A/F,i,n)稱作償債基金係數,它與年金終值係數互為倒數。
【例1.6】某人駕駛的工程車要在10年後報廢,到時需要一筆20萬元的資金用於購買新車,如果年利率為3%,問從現在開始他每年應向銀行存入多少資金?
解:已知F=20,i=3%,n=10,求A。
由公式(1.13)可知,A=F×i(1+i)n-1=20×3%(1+3%)10-1=20×0.0872=1.744(萬元)即每年應存入銀行1.744萬元。
1.4.3現值與年金的互算公式
1)年金現值公式(已知A,求P)。
已知A求P。
現金流量圖:其含義是在n年內每年等額收支一筆資金A,在利率為i的情況下,求此等額年金收支的現值總額,即已知A,i,n,求P,類似於實際商務活動中的整存零取。
年金現值公式的計算可以利用數列求和得出,也可以直接由年金終值公式推導得出。
由公式(1.12)F=A×(1+i)n-1i及公式(1.11)P=F1(1+i)n可得:P=A×(1+i)n-1i×1(1+i)n=A×(1+i)n-1i(1+i)n(1.14)公式(1.14)為年金現值公式,可表示為:P=A×(P/A,i,n),其中係數(1+i)n-1i(1+i)n或(P/A,i,n)稱作年金現值係數。