主要點
《章算術》定了中國古代數學的框架，以計算為中心的點，密切聯係實際，以解決人們生產、生中的數學問為目的的風格。其影響之深，以致以後中國數學著作大體兩種形：或為之作注，或仿其體著書；甚至算傳入中國之後，人們著書立說時還把包括算在內的數學識納入章的框架。然而，《章算術》亦有其不容忽視的缺點：沒有何數學概念的定義，也沒有給出何推導和明。魏景四年（263年），劉徽給《章算術》作注，大大彌補了這個缺陷。[2]
《章算術》
劉徽是中國數學家之一。他的生平之甚少。考，他是山東鄒平人。劉徽定義了若幹數學概念，全麵論了《章算術》的公解法，出了許多重要的想、方法和命，他在數學理論方麵成績斐然。
劉徽對數學概念的定義抽而嚴謹。他揭示了概念的本質，本符合現代邏輯學和數學對概念定義的要。而且他使用概念時亦持了其同一性。如他出凡數相與者謂之率，把率定義為數量的相互關係。又如他把正負數定義為兩算得失相反，要令正負以之，擺脫了正為餘，負為欠的原始觀念，從本質上揭示了正負數得失相反的相對關係。
《章算術》的算法盡抽，但相互關係不明顯，顯得零亂。劉徽大大發深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運算的綱紀。許多問，隻要找出其中的各種率關係，通過乘以散之，約以聚之，齊同以通之，都可以歸結為有術解。
一平麵（或立體）圖形經過平移或旋轉，其麵積（或體積）不變。把一個平麵（或立體）圖形分解成若幹部分，各部分麵積（或體積）之和與原圖形麵積（或體積）相等。於這兩條不言自明的前的出入相補原理，是中國古代數學進行幾何推演和明時最用的原理。劉徽發了出入相補原理，成功地明了許多麵積、體積以可以化為麵積、體積問的勾股、開方的公和算法的正性。
數學成就
《章算術》中的數學成就是多方麵的：
（1）、在算術方麵的主要成就有分數運算、比問和“盈不足”算法。《章算術》是上最早係統敘述了分數運算的著作，在第二、三、章中有許多比問，在上也是比較早的。“盈不足”的算法要給出兩假設，是一項創，中紀歐洲稱它為“雙設法”，有人認為它是由中國經中紀阿伯國家傳去的。
《章算術》中有比較的分數計算方法，包括四則運算，通分、約分、化帶分數為假分數（我國古代稱為通分內子，“內”讀為納）等等。其驟與方法大體與現代的雷同。
分數加減運算，《章算術》已明出通分，使兩分數的分母相同，然後進行加減。加法的驟是“母互乘子，以為實，母相乘為法，實如法而一”這裏“實”是分子。“法”是分母，“實如法而一”也就是用法去除實，進行除法運算，《章算術》還注意到兩點：其一是運算結如出現“不滿法者，以法命之”。就是分子小於分母時便以分數形留。其二是“其母同者，相從之”，就是分母相同的分數進行加減，運算時不必通分，使分子加減可。
《章算術》中還有最大公約數和約分的方法。最大公約數的方法稱為“相減損”法，其體驟是“可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，相減損，其等也。以等數約之。”這裏所說的“等數”就是我們現在的最大公約數。可半者是分子分母都是偶數，可以折半的把它們折半，可約去2。不都是偶數了，則另外擺（副置）分子分母算籌進行計算，從大數中減去小數，輾轉相減，減到餘數和減數相等，得等數。
在《章算術》的第二、三、等章內，廣泛地使用了各種比解應用問。粟米章的開始就列舉了各種糧食間互換的比率如下：“粟米之法：粟率十，糲米三十，粺米二十，糳米二十四，……”這是說：穀子鬥去皮可得糙米三鬥，又可舂得折米二鬥升，或八拆米二鬥四升，……。如，粟米章第一：“有粟米一鬥，欲為糲米，問得幾何”。它的解法是：“以所有數乘所率為實，以所有率為法，實如法而一”。
《章算術》第章“盈不足”專講盈虧問其解法其中第一：“有（人）買物，（）人出八（錢），盈（餘）三錢；人出（錢），不足四（錢），問人數、物價各幾何”，“答曰：人，物價53（錢）。”“盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘（錯相乘）所出率，以為實，盈，不足為法，實如法而一……置所出率，以少減多，餘，以約法、實。實為物價，法為人數”。盈不足術是中國數學史上解應用問的一種開生麵的創，它在我國古代算法中占有相當重要的地。盈不足術還經過絲綢之傳中亞阿伯國家，到重視，稱為“契丹算法”，後來又傳入歐洲，中紀時“雙設法”曾長統了他們的數學王國。
（2）、《章算術》總結了生產、生實踐中大量的幾何識，在方田、商功和勾股章中出了很多麵積、體積的計算公和勾股定理的應用。
《章算術》方田章主要論述平麵圖形線形和圓的麵積計算方法。《章算術》方田章第一“有田廣十，從（音縱zong）十。問為田幾何。”“答曰：一畝”。這裏“廣”就是寬，“從”縱，其長度，“方田術曰：廣從數相乘得積，（得積就是得到乘積的平方數）以畝法二四十（實質應為積）除之，畝數。畝為一頃。”當時稱長方形為方田或田。稱三角形為圭田，麵積公為“術曰：半廣以乘正從”。這裏廣是三角形的底邊，正從是底邊上的高，劉徽在注文中對這一計算公實質上作了明：“半廣者，以盈補虛，為田也。”“亦可以半正從以乘廣”（圖1－30）。盈是多餘，虛乃不足。“以盈補虛”就是以多餘部分填補不足的部分，這就是我國古代數學推導平麵圖形麵積公所用的傳統的“出入相補”的方法，由上圖“以盈補虛”變圭田為與之等積的田，於是得到了圭田的麵積計算公。
方田章第二十、二十八把角梯形稱為“邪田”（斜田）它的麵積公是：“術曰：兩邪（兩斜，應理解為梯形兩底）而半之，以乘正從……，又可半正從……以乘。”劉徽在注中說明他的法仍是“出入相補”法。在方田章第二十、三十把一般梯形稱為“箕田”，上、下底分稱為“舌”、“踵”，麵積公是：“術曰：踵舌而半之，以乘正從”。
至於圓麵積，在《章算術》方田章第三十一、三十二中，它的麵積計算公為：“半周半徑相乘得積”。這裏“周”是圓周長，“徑”是徑。這個圓麵積計算公是正的。隻是當時徑一周三（π≈3）。於是由此計算所得的圓麵積就不夠精密。
《章算術》商功章的都是一些有關體積計算的問。但是商功章沒有論述長方體或正方體的體積算法。看來《章算術》是在長方體或正方體體積計算公：V=abc的礎上來計算其他立體圖形體積的。
《章算術》商功章到城、垣、堤、溝、塹、渠，因其功用不同因而稱各異，其實質都是正截麵為等腰梯形的棱柱，他們的體積計算方法：“術曰：上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，積尺”。這裏上、下廣橫截麵的上、下底（a，b）高或深（h），袤是城垣……的長（l）。因此城、垣…的體積計算術公V=1/2（a+b）h.
劉徽在注釋中把對於平麵圖形的出入相補原理推廣應用到間圖形，成為“損廣補狹”以明幾何體體積公。
塹堵
劉徽還用棋驗法來推導比較複雜的幾何體體積計算公。所謂棋驗法，“棋”是某些幾何體模型用幾何體模型驗的方法，如長方體本身就是“棋”[圖1－32（1）]斜解一個長方體，得兩個兩底麵為角三角形的三棱柱，我國古代稱為“塹堵”（如圖），所以塹堵的體積是長方體體積的二分之一。
《章算術》商功章還有圓錐、圓台（古代稱“圓亭”）的體積計算公。甚至對三個側麵是等腰梯形，其他兩麵為勾股形的麵體[圖1－33（1）]，上、下底為矩形的擬