2．把數學作為思維的工具
數學研究的對象不是某一類具體實物或某一種物質運動形態，而是從客觀世界抽取出來的量的關係。就這一點而言，係統論、信息論、控製論與數學有類似之處，都被稱為橫斷科學。美國哈佛文理學院的教授亨利·理查德教授指出：“數學和邏輯學關係密切，數學應該與邏輯學一樣，歸於思維科學。數學既是人們研究自然的工具，也是人們認識社會的思想工具。
怎樣理解數學是一種思想工具呢？其思想力量是怎樣表現的呢？亨利教授認為，概括地說，有以下幾個方麵：
（1）數學是具有抽象思維能力的科學
數學是一種研究思想事物的抽象的科學。研究純粹數學的人正是在各種抽象的數學概念或數學結構之間思索著、追求著，尋找它們之間的內在聯係和規律。而把數學研究成果運用於實際問題之所以有效，甚至是驚人的成功，正是因為它們反映了實際事物的規律性。
數學應用於實際的關鍵在於建立較好的數學模型，即能從量的方麵反映出所要研究問題的本質關係的模型。這是一個科學抽象的過程，分析和綜合的過程。要善於把無關緊要的東西先撇在一邊，抓住係統中的主要因素、主要關係，經過合理的簡化，把問題用數學語言表述出來。在這樣提煉成的數學模型上展開數學的推導和演算，以形成對問題的認識、判斷和預測。這是數學運用抽象思維去把握現實的力量所在。
（2）數學以邏輯的嚴密性和結論的可靠性作為特征
數學中的每一個公式、定理都要嚴格地從邏輯上加以證明以後才能夠確立。數學的推理步驟嚴格地遵守形式邏輯諸法則，以保證從前提到結論的推導過程中，每一個步驟都是在邏輯上準確無誤的。所以，運用數學方法從已知的關係推求未知的關係時，所得到的結論就具有邏輯上的確定性和可靠性。而數學的這種邏輯確定性又是與數學的抽象性分不開的，沒有高度的抽象性，就難以達到邏輯上的嚴格化。
愛因斯坦說得好：“為什麼數學比其他一切科學受到特殊的尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其他一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，並且經常處於會被新發現的事實推翻的危險之中。……數學之所以有高聲譽，還有另一個理由，那就是數學給予精密自然科學以某種程度的可靠性。沒有數學，這些科學是達不到這種可靠性的。”當然在數學中也不能時時處處都要求邏輯的嚴密無隙。事實上，數學發現也需要借助於直觀、想象和幻想，數學理論（如幾何學、微積分等等）有一個由粗到精的邏輯嚴密化過程，這個過程有時會長達數十年，數百年甚至上千年。
數學的邏輯嚴密性還表現在它的公理方法。每一個認識領域，當經驗知識積累到相當數量的時候，需要進行綜合、整理，使之條理化，造成概念和理論的係統，以實現認識從感性階段到理性階段的飛躍。從理性認識的初級水平發展到更高級的水平，表現在一個理論係統還需要發展到抽象程度更高的公理化體係。這就需要借助於數學的公理方法，找出最基本的概念、命題，作為邏輯的出發點，運用演繹、推理、論證各種派生的命題。在理性認識的深化過程中，數學是使理論知識更加係統化、邏輯化的重要手段。
（3）數學是辯證思維的輔助工具和表現方式
熟悉數學的人都體會到在數學中充滿著辯證法。如果說各門科學都包含著豐富的辯證思想，那麼，數學則有自己特殊的表現方式，即用數學的符號語言，用簡明的數學公式，明確地表達出各種辯證的關係和轉化。例如：對數使乘法轉化為加法、除法轉化為減法；極限概念，特別是現代的極限語言，很好地體現了有限與無限、近似和精確的辯證關係；牛頓-萊布尼茨公式描述了微分和積分兩種運算之間的聯係和相互轉化；概率論和數理統計表現了事物的必然性與偶然性的內在關係；等等。這類事例在數學中俯拾皆是。