第二章 思維研究
第一節 數學活動中的思維訓練
一、整體與部分的包含關係
1.雞多還是母雞多
如果你請一位小朋友把一塊蛋糕分成同樣大小的兩份，並用其中的一份和原來的蛋糕進行比較，問他：“哪塊大?哪塊小?”他會毫不猶豫地告訴你現在的這塊比原來的小。從這一點上看，他似乎是能夠理解包含關係(即整體大於部分)的。但是，假如我們換一種方式來觀察幼兒是否理解包含關係，情形往往不大相同了。我分別找到幾位小朋友，問他們：“草地上有一些雞，其中4隻是母雞，1隻是公雞，你想一想是雞多還是母雞多?”回答出現了三類情況：第一類幼兒脫口而出說是母雞多；第二類幼兒在經過一番思考後說出是雞比母雞多；第三類幼兒對這個問題感到很困難，說：“老師，我不懂你的意思。”我通過和他們進一步地交談，對他們的回答進行了分析，發現第一類孩子的回答有兩種原因，有些孩子屬於完全不理解類包含關係，因而肯定地認為母雞多，而另外一些孩子則是由於比較粗心，沒有仔細地理解問題，誤認為教師問的是公雞多還是母雞多，當他們聽清了問題後對自己原先的答案產生了懷疑，但是一時又轉不過彎來。第三類孩子是比較機靈的，他們能夠察覺出老師的問題有些怪，但又不知怪在哪裏。第二類孩子雖然答案相同，但是尋求答案的思維過程卻是不一樣的，隻有少部分孩子頭腦中的概念很清楚，知道雞是一個整體，包括母雞和公雞，母雞隻是其中的一部分，所以，雞比母雞要多；另外的絕大多數的孩子是通過算出總數得出這一結論的。顯然這一類孩子並沒有抓住問題的實質，還沒有真正懂得整體和部分的關係。為了幫助幼兒理解這種關係，我利用幼兒在教室和活動場上能看得見、摸得著的東西，對他們進行訓練。在訓練時，先請幼兒確認眼前的東西都是一類的，然後進行比較。例如，國慶節時，教室裏懸掛了各種不同色彩的氣球，我指著黃氣球問：“請你們用眼睛看看，是氣球多還是黃氣球多?”班上的自然角裏養了幾條金魚，我讓幼兒觀察是小金魚多還是金魚多。在排隊時，我請幼兒比較是女孩子多還是全班小朋友多。在幼兒回答的時候，我要求他們不要一個一個去數而要用眼睛去看。幼兒在觀察中發現黃氣球隻是所有氣球中一種，而所有的氣球除了黃色的以外，還有紅色、藍色、綠色等等，所以，比較起來氣球要比黃氣球多，從中能夠舉一反三得出金魚比小金魚多，全班小朋友比女孩子多。
2.這裏有幾個圓
這項思維訓練的目的在於讓幼兒理解部分包含於整體，部分之和等於整體。我們設計了一幅圖，讓幼兒能夠看圖說出圖中有多少個圓形。這些圖樣有些是完整的圓，有些是3/4圓、有些2/4圓，有些則是1/4圓。幼兒在開始做這種練習的時候，容易發生漏找或重複找某一扇形的現象，我就請小朋友在玩這個遊戲的時候，第一步先仔細觀察，找出本來就是完整的圓，有多少個記在心裏；第二步再進行補缺，先補差得最少的3/4圓，把選定補充的那個扇形用筆劃掉表示已經使用過了，接下來再依次把2/4圓、1/4圓補全；第三步進行統計和檢查看看一共可組成幾個圓，是否有遺漏和重複，如果確定沒有就把數字寫進圖樣右邊的括號裏，這樣遊戲就算完成了。除了圓形之外還可以設計一些其它的幾何形體如正方形等讓幼兒練習，效果也很好。
二、整體和部分的可逆關係
當整體分為兩部分時，一部分是另一部分的補，並存在可逆關係。為了讓幼兒理解這種關係，我設計了一些應用題，例如，教師問：“教室裏有4位小朋友，再來幾位小朋友，教室裏就有10位小朋友了呢?”“小明有3顆五角星，他再得幾顆就有7顆五角星了呢?”絕大多數的幼兒都知道正確的答案，但是當詢問他們是用什麼方法算出來的時候，回答是一致而又出人意料的，用加法4+6＝10和3+4＝7算出來，為什麼會這樣呢?經過了解，我發現幼兒是用數的組成得出結果的，為了讓幼兒學會運用正確的解題方法，我做了一些嚐試。首先，讓幼兒知道在解應用題時，一定要用題目裏的數來進行運算，算式等號後麵的數都要和答案吻合，否則算式就列錯了。第二步，我讓幼兒分別找出題目中告訴我們的數字4和10，3和7，題目是問4個小朋友差多少才能成為10個，3顆五角星差幾顆才能成為7顆，求差一般都應該用減法來算，用大數也就是總數減去已經知道的那部分的數就得出不知道的那部分數10-4＝6，7-3＝4。最後，再拿符號後麵的數和問題進行驗證，看看是否真的再來6位小朋友就有10位小朋友以及是否再得4顆星就有7顆五角星了。也就是用組成進行驗證，經過反複多次的練習之後，幼兒不光能夠運用這種思維方式去解應用題，而且能夠仿照例句去編類似的應用題，在此基礎上，我又設計了一部分加法應用題，讓幼兒理解加法的含意。
三、集合和雙維歸類
在一個大集合中，其他因素保持恒定，隻有兩維可以分的因素，把這個大集合再分為小的集合即為雙維歸類。我給全班幼兒人手配備了一套用來歸類的學具，是一套用紅黃兩種顏色的蠟光紙剪成的圓形和三角形，總共有8個。然後，請幼兒參照下列標準進行歸類：(1)把顏色相同的歸入一類；(2)把形狀相同的歸入一類；(3)把大小相同的歸入一類；(4)把顏色、大小相同的歸入一類；(5)把顏色、形狀相同的歸入一類；(6)把大小、形狀相同的歸入一類；(7)把顏色、形狀和大小相同的歸入一類。在幼兒進行這種活動時，我們發現他們可以從圖形的全部集合中毫不費力地分出不同形狀或者不同顏色或者不同大小的子集，但卻很少能夠拋棄一種屬性，同時從另外兩種屬性對圖形這一全集進行歸類，這是因為在雙維歸類的訓練中，概括和分類的因素比較複雜，需要幼兒在觀察、分析、比較、抽象和概括以及分類之間建立反複的聯係進行多重思考，這需要教師逐步去引導，這個引導過程也是循序漸進的，讓幼兒在反複的操作活動中逐步掌握這種技能。
四、圖形推理
1.一維變量圖形推理
活動的名稱為“找規律接著畫”，教師設計出一些由簡到難的圖樣，讓幼兒找出其中的規律，然後，遵循這種規律接著畫。活動過程中，首先要引導幼兒對圖形進行觀察，先觀察圖形是由什麼組成的，再觀察圖形的空間位置是怎樣的。其次，對觀察結果進行分析比較，找出排列的規律性。再次，根據排列的規律性如遞增、遞減或間隔，想象空格上圖形的位置和個數。最後，對想象的圖形進行判斷，做出正確的合乎邏輯的推理，得出結論。
當幼兒能夠達到以上的要求後，我又設計了另一種活動內容，名稱是“添畫圖形”(如圖所示)，請幼兒分別在這三張圖上添一個和原來相同的幾何圖形，使其分別構成正方形、梯形和三角形。在活動剛開始時，教師提供一些材料，引導幼兒根據圖形親自去擺弄，通過操作、思考，幫助他們找到答案，這樣能提高幼兒對自己學習能力的信心。
2.多維變量圖形推理
活動的名稱是“四行十六格找規律”，我提供給每個幼兒的學具，包括一塊四行十六格的正方形的底板，還有塑料小玩具魚、蝦、鴨、鬆鼠各4個，讓幼兒想辦法把這16個小玩具全部放到底板上的每一格裏，要求無論橫排、豎排還是斜排都不允許有重複。我先讓幼兒自己按要求去擺，結果有許多幼兒都出現了重複擺的問題，他們往往隻能顧及某一方麵而忽略了另一方麵的要求。後來，我請幼兒每次隻拿4種不同的小動物來擺，隨便是橫擺還是豎擺，餘下三排也按同樣的方式來擺放，注意前後或上下不能重複，這樣出現錯誤的頻率大大減少了。接下來，我又提高了要求，即每一個玩具都要有固定的先後順序，如鴨子→魚→蝦→鬆鼠→鴨子，如此循環往複，同時橫排和豎排不能有重複，幼兒不單是要留意不能出現重複，同時要保證不能打破動物間的排列順序，最後的結果很多種(如下圖)。這項活動有一定的難度，但是一旦幼兒掌握了就能夠排好，並且能產生許多不同的排法。通過這個活動不僅能培養幼兒思維的靈活性、變通性，而且能夠激發幼兒求知欲望和動手動腦的興趣。
第二節 愛因斯坦發現相對論的思維過程
愛因斯坦的相對論在其形成過程中，決定性的步驟是什麼?雖然這是一項艱巨的任務，我仍要設法向讀者解釋清楚。一些有爭論的問題，例如以太問題，愛因斯坦的相對論與伽利略的相對性原理的關係等等，就不在這裏討論了。在這個宏偉的思維過程中，愛因斯坦麵臨的領域非常廣闊，它包括了現代物理學許多基本課題。對於不大熟悉現代物理學複雜性的人來說，這些都是困難的課題。盡管下麵的概括敘述必須壓縮，我仍希望讀者能洞悉這些決定性步驟的性質。
在1916年初的美好的日子裏，我很幸運有機會與愛因斯坦在他的書房裏單獨談話，而且一談就是幾個小時，我聽他講述了最終成為相對論戲劇性的發展過程。在那些漫長的討論中，我常常就他的思維中的許多具體細節問題向他詢問。他沒有籠統地描述這些具體事件，而是以討論的方式把每個問題的來龍去脈都告訴了我。
愛因斯坦在他的原始的論文裏隻是報告了思維結果而沒有談過程。他隻是在一本書中，談了他的思維過程的某些步驟。
這出戲分為幾幕：
第一幕：問題的開始
愛因斯坦十六歲當他還是個中學生的時候，這個問題就開始在他的頭腦中出現了。他為了自己搞些創造性工作，例如在物理、數學兩門功課中，他就是這樣做的，因此除了他對這兩門功課比班上其他同學要懂得要多得多之外，他並不是特別優秀的學生。就在這個時候，這個大問題就使他大傷腦筋。自從他開始對時間的通常概念提出問題之後，他關注這個大問題達七年之久。他寫出相對論的論文卻隻花五個星期的功夫，盡管與此同時，他要在專利局上全天班。
這個過程是怎樣開始的，還不那麼清楚，(由於他處在困惑的情況下)因此也就難於描繪。他首先提出了這樣一些問題：假如人追著光線跑，會發生什麼事呢?假如他騎上光束，又會怎樣呢?假如光在前進，人追著它跑，光速會因此減低嗎?如果人跑得極快，光會不會就不動了呢?這些問題對年輕的愛因斯坦來說，似乎都是不可思議的。
同樣的光線對不同的人可能有不同的光速。“光速”是什麼?如果使光速與某個東西發生聯係，如果和其他本身也在運動著的東西發生聯係，這個光速的值就變了。(在某些條件下，一個方向下的光速比另一個方向下的光速要快，這是很難想象的。)如果這是對的，那麼，以運動著的地球為參照係，有什麼後果就可以得出了；那麼，通過對光的實驗，也就可以找出人們是否處在一個運動著的係統之上了。愛因斯坦的興趣被這個問題吸引住了。他設法找出能夠證明或測量地球運動的方法。後來他才知道，物理學家已經做了這樣的實驗。他要設計這種實驗的欲望始終伴隨著某種疑惑：事情真的就是這樣嗎?但是，無論如何，他覺得必須做出判斷。
他想：“我知道光速是和某一個係統聯係著的。如果考慮到另一個係統，情況將會怎樣，似乎很清楚，但是這些後果還是非常費解。”
第二幕：光決定著絕對靜止狀態嗎
在光上施加作用所得的結論是否在這一方麵不同於在力上施加作用?從力學的觀點看，似乎沒有絕對靜止；從光的觀點看，似乎有絕對靜止。光速到底是怎樣的?光速一定要和某種東西有聯係。這樣問題就來了。光能夠決定絕對靜止狀態嗎?然而，人們並不知道自己是否處在一個運動著的係統之中。年輕的愛因斯坦曾經有過這樣一個信念，即人們覺察不到自己是否處在一個運動著係統之中；他似乎認為：在大自然之中，並沒有“絕對運動”是很有根據的。從光速來說，似乎可以設想有“絕對靜止”的狀態，從其他物理過程來說又認為不可能有絕對靜止。二者之間矛盾成了問題的關鍵。
在這一切的背後，必定有某種東西尚未被人們所掌握，尚未被人們所了解。年輕的愛因斯坦當時心理狀態就是這種不安。
我問他，是否在那個時候，他就已經有了關於光速恒定不變以及光速與參照係的運動無關的概念。愛因斯坦堅定地回答：“沒有，我隻是好奇而已。光速因觀察者的運動而發生變化，這個看法在某種程度上是可疑的。後來的發展增強了這個疑點。”當提出這樣的問題時，就光來說，似乎還不能作出答複。而且，光似乎和力學過程一樣，既不懂什麼是絕對運動也不懂什麼是絕對靜止狀態。這件事是有趣的，也是激動人心的。
對愛因斯坦來說，光是某種非常基本的東西。當他在中學學習的時候，人們就不認為以太是某種力學的東西，而僅是電現象的載體。
第三幕：采用另一個方法
嚴肅的工作開始了。在麥克斯韋關於電磁場的方程組中，光速扮演著重要的角色，它是恒定不變的。如果麥克斯韋方程組在一個係統中有效，而在另一個係統無效，那麼這些方程組就必須加以更改。當人們以假設光速不是恒定不變的方式試圖更改方程組的時候，問題就變得非常複雜。愛因斯坦在設法通過研究和更改麥克斯韋方程組來澄清這個問題上，化了幾年功夫。他沒有能夠寫出方程組，通過這種方式圓滿地解決這些困難。他竭盡全力要把光速與力學運動關係搞清楚。但是隻要他想用一切辦法把力學運動和電磁現象統一起來，他就陷於困境。他的許多問題之中有一個是這樣的：如果人們假定光速依賴於光源的運動的話，那麼麥克斯韋方程組將發生什麼變化?這些方程組與事實是否相符?
在這些方麵，有關光的情況不應該和有關力學過程的情況有所不同(而既沒有絕對運動也沒有絕對靜止)的信念增強了。
他花了很長時間思考以下的問題：他不能懷疑光速是恒定不變的，與此同時他又能獲得關於電磁現象令人滿意的理論。
第四幕：邁克耳孫的結果與愛因斯坦
著名的邁克耳孫實驗給物理學家帶來了困境。假如一個物體向你飛來，你跑的方向和物體的方向一樣，那麼與你站著不動對比，物體擊中你的時間就多少晚一些。反之，你跑的方向與物體的方向相反，它擊中你的時間就要早一些。邁克耳孫就是利用這個道理來測量光速。他比較了光在兩個管子中運行的速度：這兩個管子互相垂直，一個管子水平放著，另一個管子和它垂直，水平放置的管子的走向與地球的走向相同，因此，在水平管子內的光達到終端應該比垂直方向的管子達到終端的時間要晚一些。
事實上，這個裝置複雜得多。兩個管子頂角安放著一麵公用的鏡子。兩個管子的終端又各放一麵鏡子。兩個管子裏麵，同一光源發出的兩條光線，由於鏡子的反射，來回運行，時間的差異可以從公用的鏡子內的幹涉效應而測量出來。(讀者很可能假定，由於光線往返運行，因地球運動而產生的時間差異可以互相抵消。這是不對的，通過數學計算，就可以證明這一點)。這種時間差異本來是可以測出來的。因為用幹涉效應進行測量相當精密靈敏，通過數學分析就能確定它的差異量。
但是，沒有發現到這種差異。經過多次反複實驗，結果都是否定的，而沒有找到光速的差異。
邁克耳孫實驗的結果，與當時的物理學家的基本概念完全不符。而事實與物理學家的一切認為合理的期望互相矛盾。
對愛因斯坦來說，邁克耳孫的實驗結果不是孤立的事實，它在愛因斯坦當時所形成的思維過程中占有地位。因此，當他讀了許多物理學家所做這些關鍵性的實驗報告，尤其是邁克耳孫所做的最巧妙的實驗報告時，盡管這些實驗的結果非常重要並起著決定性的作用，但他不覺得驚奇。這些實驗結果並不推翻他的看法而是證實他的看法。但是問題並未全部澄清。確切來說，這個結果到底怎樣產生的?盡管他看不到解決的途徑，這個問題地變成他的固執觀念。
第五幕：洛倫茲答案
不僅愛因斯坦，許多物理學家都感到迷惑不解。著名的荷蘭物理學家洛倫茲(Lorentz)提出了一個理論，可以明確地用數學公式表達邁克耳孫實驗所發生的情況。他和菲茲傑惹(Fitzgerald)一樣，為了解釋這個事實，都認為必須引進一個輔助假說：他假定用作測量的整個儀器會在地球運動的方向上稍為收縮。根據這個理論，在地球運動方向上的管子在長度上有一點變化，而另一個管子在寬度上有一點變化，而長度卻不受影響。而且收縮的量被假設為正好抵消地球運動對光的運動的影響。這是一個很有創見的假說。
這個時候，就有了可以表達邁克耳孫實驗結果的精確的數學公式，又有了一個輔助性的收縮假說。困難好像“消除”了。但是對愛因斯坦來說，情況並不比從前有所改善，他覺得這個輔助性假說很特別，並沒有接觸到問題的核心。