分析目標比較差異實現解題
根據控製論的“反饋一控製”原理，提出了解題機製的控製論模型：
其解題機製為：首先按照問題的要求確立一個解題目標，然後比較初始條件、中間狀態與解題目標之間的差異，以此確定和調整解題方向，使差異逐步縮小，最終達到解題目標，實現解題。
為了具體地說明這一解題機製，先讓我們來看一個解一元一次方程的簡單例子：
例1解方程2x-33-5x+46=x-102(1)
方程的解是滿足方程的形如x=a的數學對象(就本例而言，a是個具體的數)。因此，我們的解題目標，就是尋找那些滿足方程的形如x=a的數學對象。
將方程(1)與解題目標x=a做比較，容易發現x=a不含分母，而(1)卻含分母。要想縮小它們之間的差異，應將分母去掉，於是得
2(2x-3)-(5x+4)=3(x-10)(2)
再將所得結果(2)與解題目標x=a做比較，又發現x=a不含括號，而(2)卻含括號。要想縮小它們之間的差異，應將括號去掉，於是得
-x-10=3x-30(3)
再將所得結果(3)與解題目標x=a做比較，又發現x=a中未知數x與已知數a分別位於等號的兩邊。要想進一步縮小(3)與x=a之間的差異，還應將(3)中的未知數與已知數分離(移項、合並同類項)，於是又得
-4x=-20(4)
所得結果(4)已經非常接近解題目標x=a，唯一的差異是x前的係數不同。隻要將(4)兩邊除以-4，得
x=5(5)
就與解題目標的形式完全一致了。
以上我們由(1)到(5)所施行的各種變換都不會改變原方程的解，所以x=5就是我們所要求的結果。
我們不妨把體現控製論模型解題機製的解題方法稱為“目標分析法”，其要點是：①建立適當的解題目標；②比較問題的現時狀態與解題目標之間的差異；③按照解題目標的方向逐步縮小差異。
目標分析法的關鍵是建立適當的解題目標。有了解題目標就有了明確的解題方向，使得我們可以按照這一方向去逐步縮小問題的現時狀態與解題目標之間的差異。
例2已知x+9y=3，y+9z=3，求證z+9x=3。
顯然，待證等式就是我們的解題目標。比較兩個已知等式與待證等式之間的差異，容易看出兩個已知等式共含x,y,z三個字母，而待證等式隻含x和z兩個字母，因此，隻需從兩個已知等式消去y，推出待證等式即可。
例3求證：tgα-ctgαsecα+cscα=sinα-cosα。
可以把原等式較為簡單的右邊作為我們的解題目標，而把較為複雜的左邊作為我們的出發點，設法從左邊推出右邊。比較左、右兩邊，其差異首先表現在函數名稱上，其次表現在代數結構上。要想消除這些差異，隻需將左邊的tgα，ctgα，secα，cscα統統化成sinα和cosα，再化簡、約分即可。
以上兩例的解題目標是十分明顯的。然而，很多問題的解題目標卻比較隱蔽，必須根據問題的條件和要求仔細分析，才能將其刻畫出來。
例4設方程x2+ax+1=b的兩根均是自然數，求證a2+b2是合數。
要證a2+b2是合數，也就是要證a2+b2可以分解為兩個大於1的整數因子的乘積，因此，可以將解題目標定為：將a2+b2分解因式。然而a2+b2這種形式在實數範圍內卻是不可分解的(更不要說在整數範圍內分解了)，需要加以變換。聯係到題目的已知條件，可設所給方程的兩根為n1與n2，通過韋達定理將a2+b2化為n1與n2的代數式，再來分解。