(1)當n=1時，S1=1-132=89，等式成立。
(2)設當n=k時，Sk=1-1(2k+1)2成立。
則當n=k+1時，有Sk+1=Sk+ak+1
=1-1(2k+1)2+1(2k+1)2-1(2k+3)2
=1-1［(2(k+1)+1］2
即當n=k+1時，等式也成立。
綜合(1)、(2)故等式對所有的自然數n均成立，即Sn=1-1(2n+1)2。
例9數列｛an｝滿足a1=12，a1=16，an+an+1+8n+2=3n(n+3)(n∈N)，求通項an。
思維方法由a1=12=11×2，a2=1〖〗6=12×3，
猜想an=1n(n+1)(n∈N),的確也滿足
an+an+1+an+2=3n(n+3)。
我們用數學歸納法證明猜想的正確性。
證明由數列已知項a1=12=11×2，a2=16=12×3，推測通項an=1n(n+1)。
(1)當n=1、2時，結論成立。
(2)假設n=k、k+1時結論成立，即
a2=1k(k+1)，ak+1=1(k+1)(k+2)成立。那麼，當n=k+2時，由遞推關係式有
ak+2=3k(k+3)-ak-ak+1
=3k(k+3)-1k(k+1)-1(k+1)(k+2)=1(k+2)(k+3)
即n=k+2時，結論也成立。
綜合上述，對於任意自然數n，有an=1n(n+1)。
5、變換轉化思維
從一種形式變換到另一種形的轉化，是數學解題最常用的方法之一。在求解問題時，把難題的問題轉換成一個或幾個比較簡單、難度較低或已經熟悉易於求解的新問題。通過對新問題的研究，發現原問題的解題思路，以達到解決原題之目的。這就是數學變換轉化思維方法的模式。
例10解方程：2(x+1)-2x(x+8)-2x(x+8)=x-x+8。
思維方法若直接兩邊平方，則化為高次方程，觀察根式的結構，考慮令y=x+8-x作代換，則方程轉化為二次方程y2+y-6=0，解得y，再代入求出x。
解令y=x+8-x，代入原方程整理得
y2+y-6=0，即(y-2)(y+3)=0解得y=2或-3。於是有x+8-x=2，解得x=1;x+8-x=-3,∵x+8>x。方程不合理，應舍去。
經檢驗x=1是原方程的根。
例11平麵上有800個點，任意兩點間的距離不超過1，任意三點都構成鈍角三角形。求證：可以用一個直徑為1的圓，把800個點全部蓋住。
思維方法直接證明有一定的難度，可考慮把命題轉化。在C2800個距離中取最大的距離記為A1A2(顯然，A1A2≤1)以A1A2為直徑作圓C，問題就轉化為證明：任一點Ai(3≤i≤800)都在圓C內。
事實上，任一點Ai與A1A2構成鈍角ΔA1AiA2，對最大邊長A1A2的角∠Ai為最大，是鈍角，所以Ai點必在圓C內。
例12已知x-1=y+12=z-23，當x,y,z為何值時，ω=x2+y2+z2有最值，並求其最值。
思維方法根據已知條件的特征，可引入比例變元k，將問題的形式變換轉為一元函數，使之易於求解。
解x-1=y+12=z-23=k，則有
x=k+1,y=2k-1,z=3k+2。
代入目標函數將其化為一個變量(k)的函數
ω=x2+y2+z2=14(k+514)2+4314。
則當k=-514，亦即x=914，y=-1217，z=1314時，ω=x2+y2+z2有最小值4314。