思維方法每個根式可看作兩點的距離，
∵x2+y2-16x-6y+73
=(x-8)2+(y-3)2，
x2+y2-4x+10y+29
=(x-2)2+(y+5)2。
∴可構造f(x，y)作為動點P(x，y)到定點A(8，3)與定點B(2，-5)的距離之和。f(x，y)=｜PA｜+｜PB｜≥｜AB｜
=(8-2)2+(3+5)2=10，
當P在AB上時取等號，∴f(x，y)=10是函數的最小值。
我們也可以仿例4構造複數模的方法來求解。(留讀者自解之)
3、特殊一般化思維
將特殊問題一般化，借助於一般性問題來解決特殊性問題，這是“以進求退”的一種辯證思維方法，往往能達到簡化解答問題的目的。在人們對特殊形式並不熟悉，卻認知其一般形式的情況下，即可沿著“特殊化”的反向“一般化”去實現化歸。
例6設0 (1+a3992)1996<(1+a3994)1997。
思維方法直接證明比較困難，不妨考慮將特殊問題推向一般化。觀察不等式可改寫為
1+12a19961996<1+12a19971997。
由此，可改證一般形式，得出新命題：
設0 證明：在均值不等式
a1+a2+…+ann≥na1a2…an中，
令a1=1，a2=a3=…an=an+1=1+bn，則a1≠a2，得
1+n(1+bn)n+1>［1·(1+bnn］1n+1，
(1+bn+1)n+1>(1+bn)n。
再以n=1996，b=12a代入，即證得原題。
由於特殊性中包含著普遍性，所以它無論改變形態，總留有一般特征的痕跡，通過觀察就能發現其原型。
例7求證2549>49!
思維方法直接計算證明難度大，觀察不等式找其原型，可改寫為：(49+12)49>49!一般化，得出新命題：求證(n+12)n>n!。利用均值不等式易於得證。再以n=49代入，原題便得證。
4、歸納猜想思維
歸納猜想是對研究對象或問題，以一定數量的個別例或簡單的、特殊的情況進行觀察、分析，從中歸納出一般的規律和性質，得出有關命題的形式、結論或求解方法的猜測。這種從特殊到一般猜想的思維方式稱為歸納猜想思維。這是數學解題常用的一種思維方法。
例8已知數列
8·112·32，8·232·52，…，8n(2n-1)2(2n+1)2…。Sn為其前項n項和，計算得
S1=89，S2=2425，S3=4849，S4=8081
試求計算Sn的公式，並證明之。
思維方法觀察S1=89=1-132，
S2=2425=1-152，S3=4849=1-172，
S4=8081=1-192。
猜想Sn=1-1(2n+1)2。
且an=8n(2n-1)2(2n+1)2
=(2n+1)2-(2n-1)2(2n-1)2(2n+1)2
=1(2n-1)2-1(2n+1)2，
也有sn=∑nk=1ak=1-132+132+152+…+1(2n-1)2-1(2n+1)2=1-1(2n+1)2。
我們可以用數學歸納法證明猜想的正確性。
證明：
∵an=8n(2n-1)2(2n+1)2=1(2n-1)2-1(2n+1)2
∴Sn=∑nk=1ak=1-1(2n+1)2。