推廣與歸納中的退縮策略
在數學問題學習中常常可把問題條件適當地加強或減弱，指結論引入更加特殊化或更為普遍化，在這樣的變化中，尋找它們的規律來解決已知與未知的邏輯聯係。由一類對象或一個範疇過渡推廣到更廣泛的一類對象或更廣的範疇的研究。反之，就過渡退縮到更狹一類對象或更小範疇的研究。
例如若a12+a22+…+an2=1，x12+x22+…+x31=1。
求證a１x1+a2x2+…+anxn≤1。
著手解此題會有些困難，不妨退縮到二元情況，若a21+a22=1，x21+x22=1，求證：a1x1a2x2≤1。
不難證明：a1x1+a2x2≤a21+x212+a22+x222=12a22+(x21+x22)=12(1+1)=1。
同樣方法，應用基本不等式ab≤a2+b22很容易證明推廣情形。
數學歸納是學習數學的最基本和最常用的策略。歸納中的退縮尤應運用嫻熟。常用有以下幾種歸納中的退縮策略：
1、以“點”帶“麵”
在數學歸納法中，我們在驗證了n=1後，不是急於進，而是先退一退，再繼續考察n=2、3的情形，因為開始幾步的驗證，往往給我們以許多重要的啟錄，如果把這幾個“點”的問題弄清楚，那麼整個“麵”上的歸納過渡的辦法便在不言之中了。
例：設正數數列｛an｝滿足關係式an2≤an-an+1，證明這一切n∈N，有an＜1n。
證明：當n=1時，結論顯然成立，
當n=2時，有
a2≤a1-a1２=14-(12-a1)2＜12
故結論也成立，假設當n=k時結論成立，即有ak＜1k，則當n=k+1時，有：
ak+1≤ak-ak2=14-(12-ak)2≤14-(12-1k)2
=k-1k2＜k-1k2-1=1k+1
即當n=k+1時命題也成立，故由歸納法原理知，對一切n∈N，都有an＜1n。
在上麵的論證中，n=2的驗證並沒有在歸納假設中發揮作用，但為什麼我們還要退下來驗證呢?因為它啟發我們如何將(a1-a12)改寫成一種便於利用歸納假設的形式，而這種啟發利於在“麵”上實現歸納過渡是非常重要的，可見，對n=2這個“點”的情況的考察是必要的。
2、分段歸納
當我們從整體上應用歸納假設比較困難時，不妨退一退，將整體分成部分，在部分上應用歸納假設，這種歸納的方法也稱為分段歸納法。
例：平麵上任給2n個點(n＞1，且無三點共線)，並在點與點之間任作n2+1條連線(直線段)，證明：這些線段間必將出現三角形。
證明：當n=2時，也就是有4個點，命題顯然成立。
現在假定當n=k時命題成立，則當n=k+1時，對於(k+1)2+1條連線中任取一條，設其端點為A、B，即任取的一條線段是AB，現分兩種情形：
(1)若與A或B相連的線段(包括AB)不超過2k+1條，則除去A、B這兩個點外，平麵上尚有2k個點，並且至少有
(k+1)2+1-(2k+1)=k2+1
條連線，故由歸納假設，這些線段必出現三角形。
(2)若與A或B相連的線段(包括AB)至少有2k+2條，則從A或B到共餘2k個點的連線至少有2k+1條，由於2k+1＞2k，所以除A、B之外，其餘2k個點中至少有一個點將同時與A、B相連，不妨設此點為C，則A、B、C點之間均有連線，即出現了三角形ABC。
綜上兩點，可見命題對於n=k+1時也成立，所以命題對＞1的自然數n都成立。
值得一提的是，如果將該命題推廣到三維空間，我們同樣可用分段歸納法加以證明，用分段歸納法也可證明1。