數學歸納法證題步驟與技巧
在數學問題中，有一類問題是與自然數有關的命題。自然數有無限多個，不可能就所有自然數一一加以驗證，所以用完全歸納法是不可能的。但就部分自然數進行驗證即用不完全歸納法得到的結論，又是不可靠的，這就需要尋求證明這一類命題的一種切實可行而又滿足邏輯嚴謹性要求的新方法——數學歸納法。
1、數學歸納法的應用範圍
數學歸納法是以自然數的歸納公理作為它的理論基礎的，因此，數學歸納法的適用範圍僅限於與自然數有關的命題，它能幫助我們判斷種種與自然數n有關的猜想的正確性。
2、數學歸納法兩個步驟的關係
第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的根據，兩個步驟缺一不可。有第一步無第二步，屬於不完全歸納法，論斷的普遍性是不可靠的；有第二步無第一步，則第二步中的假設就失去了基礎。隻有把第一步結論與第二步結論聯係在一起，才可以斷定命題對所有的自然數n都成立。
3、第二數學歸納法
第二數學歸納法的證明步驟是：
(1)證明當n=1時命題是正確的；
(2)K為任意自然數，假設n＜k時命題都是正確的， 如果我們能推出n=k時命題也正確，就可以肯定該命題對一切自然數都正確。
數學歸納法和第二歸納法是兩個等價的歸納法，我們把數學歸納法也叫做第一歸納法。有些命題用第一歸納法證明不大方便，可以用第二歸納法來證明。
4、數學歸納法的原理
數學歸納法證明的是與自然數有關的命題，它的依據是皮亞諾提出的自然數的序數理論，就是通常所說的自然數的皮亞諾公理，內容是：
(1)1是自然數。
(2)每個自然數a有一個確定的“直接後斷”數a′，a′也是自然數。
(3)a′≠1，即1不是任何自然數的“直接後斷”數。
(4)由a′=b′，推得a=b，即每個自然數隻能是另外的唯一自然數的“直接後續”數。
(5)任一自然數的集合，如果包含1，並且假設包含a，也一定包含a的“直接後續”數a′，則這個集合包含所有的自然數。
皮亞諾公理中的(5)是數學歸納法的依據，又叫歸納公理。
數學歸納法的應用及舉例
例：用數學歸納法證明f(n)=42n+1+3n+1(n∈N)可被13整除。
證明：(1)當n=1時，f(1)=43+32=91，91能被13整除，命題成立。
(2)假設當n=k時，f(k)=42k+1+3k+2能被13整除，那麼f(k+1)=42(k+1)+1+3(k+1)+2=42k+3+3k+3=16、42k+1+3·3k+2=3(42k+1+3k+2)+13、42k+1也能被13整除，這就是說，當n=k+1時，f(k+1)能被13整除。
根據(1)、(2)，可知命題對任何n∈N都成立。
下麵按歸納步中歸納假設的形式向讀者介紹數學歸納法的幾種不同形式以及它們的應用。
1、簡單歸納法
即在歸納步中，歸納假設為“n=k時待證命題成立”。這是最常用的一種歸納法，稱為簡單歸納法，大家都比較熟悉，這裏不再贅述。
2、強歸納法
這種數學歸納法，在歸納步中，其歸納假設為“n≤k時待證命題成立”。我們稱之為強歸納法，又叫串值歸納法。通常，如果在證明P(n+1)成立時，不僅依賴於P(n)成立，而且還可能依賴於以前各步時，一般應選用強歸納法，下麵舉例說明其應用。
例：在數目相等的兩堆棋子，兩人輪流從任一堆裏取幾顆棋子，但不能不取也不能同時從兩堆裏取。規定凡取得最後一顆者勝。求證後取者必勝。