談數學練習中的化繁為簡
教海探航
作者：李繼鋒
數學課堂中練習的重要性，已經不言而喻。如何挖掘課本習題的價值，放大練習功能，已經被很多有誌於數學教學研究的專家和一線老師所關注。日本教育家米山國藏指出：“縱然是把數學知識忘記了，但數學的精神、思想、方法也會深深地銘刻在頭腦裏，長久地活躍於日常的業務中。”筆者結合教學片段談談如何引導學生通過將練習化繁為簡來感悟數學思想。
案例：蘇教版六年級下冊第74頁第1題。
筆者將原題改編為：
河濱小學陽光體育“2+1”活動要舉行乒乓球比賽，共有128人報名參加比賽，比賽以單場淘汰製（即每場比賽淘汰1人）進行，產生冠軍需要比賽多少場？
教師首先通過下圖幫助學生理解“單場淘汰製”的含義。
師：像這樣如果讓你全部畫出來並數一數一共比賽多少場，你願意嗎？
生（笑）：不願意，參加比賽的人數太大了，畫出來太麻煩了，可以從比較少的參賽隊開始想起啊。
師：這位同學真了不起！他想到了研究複雜的問題時先從簡單的開始想起，這也是數學家解決數學問題時常用的方法。你們打算從幾個人參賽開始研究呢？
生：可以先對2人、4人、8人、16人的參賽情況進行研究。
師：不錯的主意，大家不妨通過畫圖或列式計算，把研究的結果填在表格中。
學生研究後組織交流，教師把結果填寫在表格中。
師：觀察表格，你有什麼收獲？
生1（激動地）：我發現決出冠軍所需要的比賽場數正好比參賽人數少1。
師：那你們知道為什麼會出現這樣的結果嗎？
生2：因為每比賽1場隻能淘汰1人，如果是16人參賽決出冠軍，最後隻剩下1人，需要淘汰15人，所以就需要比賽15場。
師：這位同學想到了把“決出冠軍需要的場數”轉化成“需要淘汰的人數”來研究，這樣就進一步將複雜問題簡單化了。
生3：我知道了，128人參加比賽，采用淘汰製，一共要比賽127場才能決出冠軍來。
生4（深受啟發）：我還發現，如果有n人參加比賽，決出冠軍需要比賽（n-1）場。
師：真不錯！那麼n可以表示哪些數呢？如果是3人、5人、6人、10人參賽，是不是也有這樣的規律呢？大家不妨課後繼續研究。
本案例中，筆者將原題改編成了一個更有難度的問題呈現給學生，讓學生體會到直接解決複雜問題有困難時，要思考探求解決問題的新路徑。通過教師的啟發誘導，學生根據已有的經驗，想到了先從簡單的問題開始研究，即先研究有較少參賽人數的比賽。大家采用畫圖舉例、列式計算、列表觀察等方法，分別研究出了有2人、4人、8人、16人參加比賽決出冠軍需要的場數。解決128人參加比賽的問題也就迎刃而解了。學生經曆的數學學習過程正好是數學家們研究問題的過程，即“在解決問題時，數學家們往往不是對問題進行直接的攻擊，而是對此進行變形、使之轉化，直到最終把它化歸成了某個（或某些）已經解決或較容易解決的問題”。為了解決複雜的問題，學生在老師的啟發下主動運用了轉化的思想，嚐試著化繁為簡、化難為易，並嚐試著進行了合情推理，歸納發現了單場淘汰製比賽場數的規律，並進行了合理的解釋和應用。
實踐證明，隻要教師經常創設情境，有效激發學生探究的興趣，給予學生思考的空間，學生就能調用已有的解決問題的經驗，在練習中浸潤數學思想，讓練習由簡單走向豐富、由封閉走向開放，讓練習沐浴思想的光輝。
（作者單位：江蘇省金壇市河濱小學）