還可以假設很多不同的製度結構來支持以上均衡。比如,公司可以自主研究新設計也可以將其外包給其他公司。為了簡單起見,將研發部分與中間品廠商分開,中間品廠商用一個明確的價格購買研發部門的設計。中間品廠商生產出中間品後將其租給最終品廠商,而非賣出中間品。同時還假設中間品沒有折損。
與一般的單部門模型相對應,需要定義資本存量K為產品的積累量,因此可以得到:
由於需要花費η單位消費品才能製造一單位的中間品,因此資本量就等於生產過程中需要用到的資本,即K=η∑∞i=1xi=η∑Ai=1xi。
因此H和L是固定的,K隨著消費品的增加而增加。接下來需要確定新設計數量的積累過程,即A(t)的增長路徑。由以上內容,研發成果與投入研發部門的人力資本有關,同時也與研發成果的存量有關。如果設計被當作離散的不可分的對象處理,那麼會受到整數和不確定因素的限製。雖然在微觀層麵上,技術的不可分割性和不確定性確實存在。但從總體水平上看,為了簡化分析,可以將技術作為連續的變量處理。因此方程(1)變為:
根據這一結構,研究人員j得到的新設計可以寫成連續的,確定性的函數。若研發部門擁有Hj的人力資本和Aj的技術水平,那麼研究人員j研製新設計的速度為δHjAj,這裏δ表示生產參數。
在這個模型均衡中,假設在研發部門,任何人都可以無成本地獲取所有技術存量。由於技術是非競爭性的,因此這是可行的。所有研究人員都可以利用 的技術。研究人員 的產量為δHjA。若將研發部門所有人員的產量加總,可以得到:
其中HA表示參與研發部門的人力資本。
方程(3)蘊含兩個重要假設:一是投入研發部門的人力資本越多,新設計的增長速率越快。二是設計存量越多,新設計的增長速率越快。根據這一假定,一個今年大學畢業的工程師和一個100年前大學畢業的工程師具有同樣的人力資本(教育程度相同),但是由於現在的技術比100年前的技術更先進,因此前者比後者生產率更高。方程(3)還有一個結構性假設:新設計的產量與HA和A都是線性關係。這一假設同樣是為了簡化分析。A的線性假設使得無限增長成為可能。如果假設方程(3)中的A是一個A的凹函數,即研發部門人力資本的邊際產量不會隨著A的增加而同比例增長,那麼隨著A的增長,人力資本將從研發部門向最終生產部門轉移。這會使得增長率降低。這裏使用線性假設是因為目前沒有實證研究證明研發部門的邊際產量在遞減。同時,這一假設簡化了模型。
以上假定使得技術從兩條不同路徑進入生產:一個新設計生產出新的中間品,從而進入最終生產;一個新設計同時增加了技術存量,從而增加了研發部門人力資本的生產率。設計的擁有者在生產對應的中間品過程中享有專利權,但是不能阻止其他研發人員利用這一新的設計。這實際上也是技術的外部性。
在總量水平上,HA和HY受到約束HA+HY=H。根據這一約束,每個人都可以將人力資本投入到最終生產部門或者研發部門。顯然,這一假設忽略了在現實經濟中L和H通常是密不可分的。因此,這裏必須假設某些提供人力資本的技術人員不提供任何勞動力。為了便於標記價格,假設在任意時刻價格用產品為計量單位。r表示貸款利率。PA表示新設計的價格。wH表示人力資本的租金。由於產品可以一比一轉換為資本,因此資本的價格始終為1並且資本的回報率為利率r。因為假設研發部門中任何人可以無成本利用所有的設計存量研製新設計,因此由方程(3)
每當一個新設計被研製出來,許多潛在的中間品供應商會競標專利權。這些供應商都會以PA的價格競標新設計,一旦某公司獲得了專利權,它會設定一個中間品價格來最大化利潤。假設第i個中間品的租賃價格為p(i)。如果沒有公司生產這一中間品,那麼p(i)=∞。最終品的代表性廠商將會麵臨所有中間品供應商的一係列價格{p(i)∶i∈R+},對每種中間品選擇一個能夠最大化利潤的需求量。L表示所有勞動力,HY表示最終品生產部門的人力資本。當L和HY已知,代表性廠商的最大化問題為:
中間品供應商在最大化利潤時,會將方程(5)中的需求函數看作已知的。在給定HY,L和r時,公司將會選擇生產水平x來最大化公司淨收入(收入減去變化成本。購買新設計的成本為固定成本,不進入目標函數):
中間品廠商的租金收入是價格與數量之積,可變成本是需要生產x單位中間品所需資本 的利息。在任一時刻,僅有的固定成本是購買新設計的資本投入。方程(6)中的壟斷定價問題得到的壟斷價格是p=rη/(1-α-β)。壟斷企業的利潤是π=(α+β)px,這裏x是根據需求函數(5)得到的當價格為p時對應的需求量x。
每個中間品廠商必須把產品租給很多最終品廠商。根據假設,這些中間品廠商不能檢測其產品的使用情況,因此不存在價格歧視。中間品廠商的最佳方法就是規定壟斷價格。中間品廠商決定是否要生產一種新產品取決於所有未來淨收入的折現值與新設計的價格PA的大小比較。由於新設計的市場是完全競爭市場,因此競標最終會使得廠商未來淨收入之和與新設計的價格相等。在這裏,引入政府財政政策,假設政府征收資本收入稅τr和勞動收入稅τw。以上的生產過程都不會受到這兩種稅收的影響,但是資本收入稅會影響貼現因子,即:
上式表明,在任一時刻,公司淨收入等於最初在新設計上投資的利息(稅後)。
(二)消費者
給定特定的效用函數,最大化消費者的總效用,可以得到消費增長率和跨期替代彈性之間的關係。
市場均衡需要滿足:給定利率r和稅率τr,消費者作出儲蓄和消費決策;給定全部技術存量A,設計價格PA和製造部門的工資率wA,人力資本的持有者決定在研究部門還是在製造部門工作;給定中間品的價格,最終品廠商選擇勞動力、人力資本和中間品數量最大化利潤;給定利率r和向下傾斜的需求曲線,擁有新設計的中間品廠商選擇中間品產量並且設定價格來最大化利潤;給定新設計的價格PA,公司決定是否購買設計並生產中間品;每種商品的供求相等,政府的收入與支出相等。
平衡增長路徑
由於模型的對稱性,所有可生產的中間品供應量應該相同,記為x。由於A規定了可生產的中間品的範圍並且每生產一單位中間品需要η單位的資本,因此資本存量可以寫為K=ηAx,最終品產量Y可以寫為:
在平衡增長路徑上,A,K,Y以相同速率增長,r和x不變。接下來需要證明價格和工資使得HY和HA保持不變,A,K,Y,C以相同速率增長。